Question

【题目】如图，中，，，，分别以、、为边作正方形、、，再作，使，点在边上，点、在边上，点、在边上，则的长为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

首先证明△ABC≌△GFC（SAS），利用全等三角形的性质可得：∠CGF=∠BAC=30°，在直角△ABC中，根据三角函数即可求得AC，进而由等边三角形的性质和正方形的性质及三角函数就可求得QR的长，在直角△QRP中运用三角函数即可得到RP、进而可求出PQ的长.

延长BA交QR于点M

在△ABC和△GFC中

∴△ABC≌△GFC（SAS）

∴∠CGF=∠CAB=30°

∴∠HGQ=180°-∠HGC-∠CGF =180°-90°-30°=60°

∴∠HAM=180°-∠HAC-∠CAB =180°-90°-30°=60°

∵∠R=∠ADE=90°

∴QR∥AD

∴BM⊥QR

∴四边形RDAM是矩形

∴∠MHA+∠HAM=∠MHA+∠QHG=90°

∴∠QHG=60°

∴△QHG是等边三角形

∴

则

在直角△HMA中，

∵四边形RDAM是矩形

∴MR=AD=AB=4

∴

∴

故填：.