Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，点的坐标为．

（1）求点坐标；

（2）若对于每一个给定的的值，它所对应的函数值都不小于，求的取值范围．

（3）直线经过点．

①求直线和抛物线的解析式；

②设抛物线与轴的交点为，过点作直线轴，将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图像，请你结合新图像回答：

当直线与新图像只有一个公共点且时，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）点B的坐标为（4，0）；（2）0＜m≤；（3）①直线的解析式为y＝x－2；②b的取值范围为－4＜b≤5或b＜－．

【解析】

（1）由抛物线的解析式可知它的对称轴是x＝1，从而可得答案；

（2）由题意得到抛物线的开口方向，结合抛物线的顶点坐标可得答案；

（3）①利用已知条件建立关于的方程组，从而可得答案；

②求解过抛物线上纵坐标为的点时，的值，再判断（b＜－4）与函数 y＝x2－x－4（x＞0）的图像仅有一个公共点P时，的值，结合图像可得答案．

解：（1）依题意，可得抛物线的对称轴为：x＝1．

∵抛物线与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（－2，0），

∴点B的坐标为（4，0）．

（2）∵点A在二次函数y＝mx2－2mx+n的图像上，

∴0＝4m+4m+n．即n＝－8m．

∴y＝mx2－2mx－8m＝，顶点坐标是（1，－9m）

∵若对于每一个给定的x的值，它所对应的函数值都不小于－5，

∴

即0＜m≤．

（3）①∵点B在直线y＝x+4m+n上，∴0＝2+4m+n．

又 n＝－8m，

∴m＝，n＝－4．

抛物线的解析式为y＝x2－x－4，

直线的解析式为y＝x－2．

②由y＝x2－x－4得：抛物线与y轴的交点为C（0，－4）．

直线l：y＝－4，依题意翻折后的图像如图所示．

令y＝8，则 x2－x－4＝8．解得x1＝－4，x2＝6．

∴新图像经过点（6，8）．

当直线y＝x+b经过（6，8）点时，可得b＝5．

当直线y＝x+b经过C点时，可得b＝－4．

当直线y＝x+b（b＜－4）与函数 y＝x2－x－4（x＞0）的图像仅有一个公共点P时，

也就是方程x2－x－4＝x+b有相等的实数根．

整理方程，得 x2－3x－（8+2b）＝0．

由根的判别式＝（－3）2+4（8+2b）＝8b+41＝0，得b＝－．

结合图像可知，b的取值范围为－4＜b≤5或b＜－．

【点晴】

本题考查的二次函数的基本性质，以及用待定系数法求函数的解析式，同时考查了函数只有一个交点时，字母的取值范围，从图像中获取信息就是解题的关键．