Question

【题目】如图，是的直径，为上一点，点是半径上一动点（不与，重合），过点作射线，分别交弦，于，两点，在射线上取点，使．

（1）求证：是的切线．

（2）当是的中点时；

①若，求证：以，，，为顶点的四边形是菱形；

②若，且，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析，②5

【解析】

（1）如图1，连接OC．则OC=OB,根据等腰三角形的性质等边对等角可得：∠OBC=∠OCB．再由垂直的定义可得∠BPD=90°．又根据三角形的内角和定理可得∠OBC+∠BDP=90°．由FC=FD可得∠FCD=∠FDC．又因为∠FDC=∠BDP，所以

∠OCB+∠FCD=90°，从而可证明．

（2）①如图2，连接OE，BE，CE．先由已知条件证出△BOE，△OCE均为等边三角形，再根据等边三角形的三条边相等可证得：OB=BE=CE=OC，从而根据四条边相等的四边形是菱形可证得结果．

②构造直角三角形，利用三角函数和勾股定理求即可.

（1）证明：如图1，连接OC．

∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB．

∵PF⊥AB，∴∠BPD=90°．∴∠OBC+∠BDP=90°．

∵FC=FD，∴∠FCD=∠FDC．

又∵∠FDC=∠BDP，

∴∠OCB+∠FCD=90°，即∠OCF=90°．

∴FC是⊙O的切线．

图1

（2）①证明：如图2，连接OE，BE，CE．

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．

∵∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠BAC=120°．

∵E是的中点，即，

∴∠BOE=∠COE=60°．

又∵OB=OE=OC，∴△BOE，△OCE均为等边三角形．

∴OB=BE=CE=OC．∴四边形BOCE是菱形．

②解：如图2，记OE与BC的交点为H．

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．

∴在Rt△ABC中，tan∠ABC==．

设AC=3k，BC=4k（k＞0）．

∵AC2+BC2=AB2，

∴(3k)2+(4k)2=202，解得k=4．

∴AC=12，BC=16．

∵E是的中点，OE是⊙O的半径，

∴OE⊥BC，BH=CH=BC=8．

∵S△BOE=OE·BH=OB·PE，OE=OB=AB=10，

∴PE===8．

在Rt△OPE中，OP===6．

∴BP=OB-OP=10-6=4．

在Rt△BPD中，=tan∠ABC=，∴DP=BP=×4=3．

∴DE=PE-DP=8-3=5．

图2

【点晴】

本题是圆的综合题，难度较大，灵活运用知识作出合理的辅助线构造直角三角形是解题的关键.