Question

10．已知抛物线y=x²+bx+c的对称轴为x=-1，且经过点 （-4，5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线y有无最小值，若有，求出最小值．若无，请说明理由；
（3）当-2＜x＜3时，求y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$，且函数过（-4，5），则可推出b，c，进而得函数解析式．
（2）利用二次函数的性质求出y最小值即可．
（3）求出函数与x轴的交点和函数的最小值，即可求得y的取值范围．

解答 解：（1）∵由抛物线的对称轴为x=-1，
∴x=$-\frac{b}{2×1}$=-1，得b=2
∵抛物线y=x²+2x+c经过点（-4，5）
∴5=（-4）²+2×（-4）+c
解得c=-3
∴抛物线的解析式为y=x²+2x-3；
（2）∵a=1＞0∴抛物线y=x²+2x-3有最小值，
最小值为y=（-1）²+2×（-1）-3=-4；
（3）∵y=x²+2x-3，
当y=0时，x²+2x-3=0，
（x-1）（x+3）=0，
x₁=1，x₂=-3，
∵对称轴为x=-1，最小值为y=-4，
∴-2＜x＜3时，-4≤y＜12．

点评 此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．