Question

如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；

（2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；

（3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）y=-x²+x+2，（2）.（3）MC与⊙P的位置关系是相切．证明见解析.

【解析】 （1）连接PC，

∵A（4，0），B（-1，0），∴AB=5，半径PC=PB=PA=，∴OP=-1=，

在△CPO中，由勾股定理得：OC=,∴C（0，2），

设经过A、B、C三点抛物线解析式是y=a（x-4）（x+1），

把C（0，2）代入得：2=a（0-4）（0+1），∴a=-，

∴y=-（x-4）（x+1）=-x²+x+2，

（2）y=-x²+x+2=-（x-）²+，M（，），

设直线MC对应函数表达式是y=kx+b，把C（0，2），M（，）代入得：

，解得：，∴.

（3）MC与⊙P的位置关系是相切．

设直线MC交x轴于D，当y=0时，，∴x=-，OD=，

∴D（-，0），在△COD中，由勾股定理得：CD²=2²+（）²=，

PC²=（）²=，PD²=（+-1）²=，∴CD²+PC²=PD²，∴∠PCD=90°，

∴PC⊥DC，∵PC为半径，∴MC与⊙P的位置关系是相切．