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【题目】如图,在RtABC中,∠A=90°,OBC边上一点,以O为圆心的半圆与AB边相切于点D,与AC、BC边分别交于点E、F、G,连接OD,已知BD=2,AE=3,tanBOD=

(1)求证:AE O的切线;

(2)求图中两部分阴影面积的和.

【答案】(1)见解析;(2)

【解析】

(1)由AB为圆O的切线,利用切线的性质得到OD垂直于AB,在直角三角形BDO中,利用锐角三角函数定义,根据tanBODBD的值,求出OD的值;连接OE,由AE=OD=3,且ODAE平行,利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形,根据平行四边形的对边平行得到OEAD平行,再由DAAE垂直得到OEAC垂直,即可得证;

(2)阴影部分的面积由三角形BOD的面积+三角形ECO的面积-扇形DOF的面积-扇形EOG的面积,求出即可.

(1)AB与圆O相切,

ODAB,

RtBDO中,BD=2,tanBOD=

OD=3;

连接OE.

AB与圆O相切,

ODAB.

∵在RtBDO中,BD=2tanBOD=BDOD=23

OD=3.

∵∠A=90°ODAB

AEOD.

OD=AE=3AEOD

∴四边形AEOD为平行四边形,

ADEO.

DAAE

OEAC.

又∵OE为圆的半径,

AC为圆O的切线.

2)∵ODAC

BD/BA=OD/CA,即=

AC=7.5

EC=AC-AE=7.5-3=4.5

S阴影=SBDO+SOEC-(S扇形FOD+S扇形EOG)

=×2×3+×3×4.5-=3+-=.

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