Question

【题目】在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=30°，CD、BE交于点O，连接OA

(1) 如图1，求证：△ABE≌△ACD

(2) 如图1，求∠AOE的大小

(3) 当绕点A旋转至如图2所示位置时，若∠BAC=∠DAE=α，∠AOE=_________

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠AOE=105°；（3）90°+α.

【解析】

（1）根据等边三角形的性质性质，可得∠BAE=∠CAD，由SAS证明△ABE≌△ACD即可；

（2）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠ABC=∠ACB=75°，根据全等三角形的性质得出∠ABO=∠ACO．∠AEO=∠ADO，证出A、B、C、O四点共圆，A、D、E、O四点共圆，由圆内接四边形的性质和圆周角定理得出∠AOD=∠ABC=75°，∠DOE=∠DAE=30°，得出∠AOE=∠AOD+∠DOE=105°即可；

（3）同（2），即可得出结果．

(1)证明：∵∠BAC=∠DAE=30°，

∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，

即∠BAE=∠CAD.

在△ABE和△ACD中,

，

∴△ABE≌△ACD(SAS)；

(2)∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=(180°30°)=75°，

∵△ABE≌△ACD，

∴∠ABO=∠ACO.∠AEO=∠ADO，

∴A、B. C. O四点共圆，A. D. E. O四点共圆，

∴∠AOD=∠ABC=75°,∠DOE=∠DAE=30°，

∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=75°+30°=105°；

(3)同(2)得：∠ABC=∠ACB= (180°α)=90°α，

∴∠AOD=∠ABC=90°α，∠DOE=∠DAE=α，

∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=90°α+α=90°+α；

故答案为：90°+α.