Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.

（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；

（2）当四边形DEBF是菱形时，求菱形的周长．

（3）在（2）的基础上，直接写出BD与EF的位置关系．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）；（3）

【解析】

（1）根据矩形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；

（2）设，则，在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，即可得出菱形的周长；

（3）根据菱形的性质即可得出答案．

解：（1）证明：在矩形ABCD中，AB∥DC

∴

又 O是BD的中点

∴OB=OD

在△BOE与△DOF中

∴△BOE≌△DOF

∴EO=FO

又 BO=DO

∴四边形BEDF为平行四边形

（2）∵四边形DEBF是菱形，

∴，

设，则，

在中，

解得：

∴菱形的周长为：；

（3）∵四边形DEBF是菱形

∴．