Question

【题目】在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法，例如：在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D是BC边上的中点，怎样求AD的取值范围呢？我们可以延长AD到点E，使AD＝DE，然后连接BE（如图①），这样，在△ADC和△EDB中，由于，∴△ADC≌△EDB，∴AC＝EB，接下来，在△ABE中通过AE的长可求出AD的取值范围．

请你回答：

（1）在图①中，中线AD的取值范围是　 　．

（2）应用上述方法，解决下面问题

①如图②，在△ABC中，点D是BC边上的中点，点E是AB边上的一点，作DF⊥DE交AC边于点F，连接EF，若BE＝4，CF＝2，请直接写出EF的取值范围．

②如图③，在四边形ABCD中，∠BCD＝150°，∠ADC＝30°，点E是AB中点，点F在DC上，且满足BC＝CF，DF＝AD，连接CE、ED，请判断CE与ED的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）1＜AD＜7；（2）①2＜EF＜6；②CE⊥ED，理由见解析

【解析】

（1）在△ABE中，根据三角形的三边关系定理即可得出结果；

（2）①延长ED到点N，使，连接CN、FN，由SAS证得，得出，由等腰三角形的性质得出，在△CFN中，根据三角形的三边关系定理即可得出结果；

②延长CE与DA的延长线交于点G，易证DG∥BC，得出，由ASA证得，得出，即可证得，由，根据等腰三角形的性质可得出．

（1）在△ABE中，由三角形的三边关系定理得：

，即

，即

故答案为：；

（2）①如图②，延长ED到点N，使，连接CN、FN

∵点D是BC边上的中点

在△NDC和△EDB中，

是等腰三角形，

在△CFN中，由三角形的三边关系定理得：

，即

；

②；理由如下：

如图③，延长CE与DA的延长线交于点G

∵点E是AB中点

在△GAE和△CBE中，

，即

．（等腰三角形的三线合一）