Question

15．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D在边AC上，AB=CD，点M、N分别为AD、BC的中点，连接MN、AN，MN=3$\sqrt{2}$，AD=4，则线段AN的长为$\sqrt{34}$．

Answer 1

分析 首先延长CA到H，使AH=DC，连接BH，利用三角形中位线定理得出HB的长，再利用锐角三角函数关系得出AB，AH的长，进而利用勾股定理得出BC的长，进而得出答案．

解答 解：延长CA到H，使AH=DC，连接BH，
∵M为AD的中点，N为BC中点，
∴HB=2MN=6$\sqrt{2}$，
又∵AB=DC，
∴AB=AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$HB=6，
∴AC=AD+DC=4+6=10，
在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=2$\sqrt{34}$，
∴AN=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{34}$．
故答案为：$\sqrt{34}$．

点评 此题主要考查了三角形中位线定理以及勾股定理、锐角三角函数关系等知识，正确作出辅助线求出AB的长是解题关键．