Question

【题目】小明研究了这样一道几何题：如图 1，在ABC 中，把 AB 点 A 顺时针旋转 00 1800 得到 AB ，把 AC 绕点 A 逆时针旋转 得到 AC ，连接 BC ．当 180° 时， 请问ABC 边 BC 上的中线 AD 与 BC 的数量关系是什么？ 以下是他的研究过程：

特例验证：

（1）①如图 2，当ABC 为等边三角形时，AD 与 BC 的数量关系为 AD 　　BC ；

②如图 3，当BAC 900 , BC 8时，则 AD 长为 　　　．

猜想论证：

（2）在图 1 中，当ABC 为任意三角形时，猜想 AD 与 BC 的数量关系，并给予证明．

拓展应用

（3）如图 4，在四边形 ABCD ，，，，，，在四边形内部是否存在点 P ，使PDC 与PAB 之间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在， 请画出点 P 的位置（保留作图痕迹，不需要说明）并直接写出PDC 的边 DC 上的中线 PQ 的长度；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）① ②4 （2），证明见解析 （3）存在，作图见解析，

【解析】

（1）①首先证明是含有30°的直角三角形，可得，即可解决问题；②首先证明，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；

（2）结论：，延长AD到M，使得，连接，先证明四边形是平行四边形，再证明，即可解决问题；

（3）存在，如图4，延长AD交BC的延长线于M，作于E，做线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN，连接DF交PC于O，先证明，再证明，即可得出结论，再根据勾股定理求出PC的长，即可求出PQ的长．

（1）①∵△ABC是等边三角形

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∴

故答案为：

②∵

∴

∵

∴

∴

∴

故答案为：4；

（2）

如图（1）中，延长AD到M，使得，连接

∵

∴四边形是平行四边形

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∴；

（3）存在，如图4，延长AD交BC的延长线于M，作于E，做线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN，连接DF交PC于O

∵

∴

∵

∴

在Rr△DCM中

∵

∴

在Rt△BEM中

∴

∴

∴

∵

∴

∵

∴，

在Rt△CDF中

∵

∴

∴

∴

∴

∵

∴四边形CDPF是矩形

∴

∴

∴△ADP是等边三角形

∴

∵

∴

∴

∴由（1）结论得

∴PDC 与PAB 之间满足小明探究的问题中的边角关系

在Rt△FCP中

∴

∴

∴．