阅读下列材料:如图.二次函数y=-x2+2的图象与x.y轴分别交于点A.B.C．设点P(x.y)为该图象上的任意一点.连接OP.怎样求OP的长度取值范围呢?回顾:∵y=x2-4x+5=x2-4x+4-4+5=(x-2)2+1.∴y的最小值为1,举一反三:∵y=x4-4x2+5=x4-4x2+4-4+5=(x2-2)2+1.∴y的最小值为1,请参照上述方法.完成下列问题:(1)求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

阅读下列材料：如图，二次函数y=-x²+2（y≥0）的图象与x、y轴分别交于点A、B、C．设点P（x，y）为该图象上的任意一点，连接OP，怎样求OP的长度取值范围呢？
回顾：∵y=x²-4x+5=x²-4x+4-4+5=（x-2）²+1，∴y的最小值为1；
举一反三：∵y=x⁴-4x²+5=x⁴-4x²+4-4+5=（x²-2）²+1，∴y的最小值为1；
请参照上述方法，完成下列问题：
（1）求函数y=x⁴-8x²+20的最小值；
（2）求函数y=x⁴+2x²+3的最小值；
（3）探究“阅读材料”中OP长度的取值范围．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）配方，然后利用二次函数的最值问题解答；
（2）先配方，再根据平方数非负数的性质解答；
（3）根据两点间的距离求出OP²，再根据二次函数的最值求出OP²，然后开方求出最小值，再写出OP的取值范围即可．

解答：解：（1）∵y=x⁴-8x²+20=（x²-4）²+4，
∴x²=4，即x=±2时，y有最小值4；

（2）y=x⁴+2x²+3=（x²+1）²+2，
∵x²≥0，
∴当x²=0，即x=0时，y有最小值3；

（3）∵OP²=x²+（-x²+2）²，
=x⁴-3x²+4，
=（x²-

）²+

，
∴当x²=

时，即x=±

时，OP²有最小值

，
OP=

，
所以，OP的取值范围是OP≥

．

点评：本题考查了二次函数综合题型，主要利用了二次函数的最值问题的求解，读懂题目信息，理解最小值的求解方法是解题的关键．

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