【题目】如图,△ABC和△DEF都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合.将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,射线EF与线段AB相交于点G,与射线CA相交于点Q.
(1)求证:△BPE∽△CEQ;
(2)求证:DP平分∠BPQ;
(3)当BP=a,CQ= a,求PQ长(用含a的代数式表示).
【答案】
(1)解:∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,
∴∠B=∠C=∠DEF=45°,
∵∠BEQ=∠EQC+∠C,
即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C,
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°,
∴∠BEP=∠EQC,
∵∠B=∠C=45°,
∴△BPE∽△CEQ,
(2)解:∵△BPE∽△CEQ,
∴ = ,
∵CE=BE,
∴ = ,
∵∠B=∠DEF=45°,
∴△BPE∽△EPQ,
∴∠BPE=∠EPQ,
∴∠DPB=∠DPQ,
∴DP平分∠BPQ.
(3)解:∵△BPE∽△CEQ,
∴ = ,
∵BP=a,CQ= a,BE=CE,
∴ = ,
∴BE=CE= a,
∴BC=3 a,
∴AB=AC=BCsin45°=3a,
∴AQ=CQ﹣AC= a,PA=AB﹣BP=2a,
在Rt△APQ中,PQ= = a.
【解析】(1)由△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,得出∠B=∠C=∠DEF=45°,由因∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C,所以∠BEP=∠EQC,从而推出△BPE∽△CEQ;
(2) 由相似三角形对应边成比例得出=,又因CE=BE,从而=,又∠B=∠DEF=45°,故△BPE∽△EPQ,根据相似三角形对应角相等得出∠BPE=∠EPQ,从而得出结论;
(3)由相似三角形对应边成比例得出=,从而求出BE=CE= a,BC=3 a,根据锐角三角函数及勾股定理得出结论。
【考点精析】关于本题考查的角的平分线判定和全等三角形的性质,需要了解可以证明三角形内存在一个点,它到三角形的三边的距离相等这个点就是三角形的三条角平分线的交点(交于一点);全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等才能得出正确答案.
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【题目】一个盒子中装有四张完全相同的卡片,分别写着2cm,3cm,4cm和5cm,盒子外有两张卡片,分别写着3cm和5cm,现随机从盒中取出一张卡片,与盒子外的两张卡片放在一起,以卡片上的数量分别作为三条线段的长度,那么这三条线段能构成三角形的概率是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知点A(4,0)及在第一象限的动点P(x,y),且x+y=5,0为坐标原点,设△OPA的面积为S.
(1)求S关于x的函数表达式;
(2)求x的取值范围;
(3)当S=4时,求P点的坐标.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(﹣4,0),B(2,0),与y轴交于点C(0,2).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D为该抛物线上的一个动点,且在直线AC上方,当以A、C、D为顶点的三角形面积最大时,求点D的坐标及此时三角形的面积;
(3)以AB为直径作⊙M,直线经过点E(﹣1,﹣5),并且与⊙M相切,求该直线的解析式.
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【题目】在△ABC中,AB=AC,点D,E分别在AC,AB上,下列条件中,不能使BD=CE的是( )
A. BD,CE为AC,AB上的高
B. BD,CE都为△ABC的角平分线
C. ∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB
D. ∠ABD=∠BCE
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【题目】某校举行“汉字听写”比赛,每位学生听写汉字39个,比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果,以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分.
组别 | 正确字数x | 人数 |
A | 0≤x<8 | 10 |
B | 8≤x<16 | 15 |
C | 16≤x<24 | 25 |
D | 24≤x<32 | m |
E | 32≤x<40 | n |
根据以上信息解决下列问题:
(1)在统计表中,m= ,n= ,并补全条形统计图.
(2)扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是 .
(3)若该校共有900名学生,如果听写正确的个数少于24个定为不合格,请你估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数.
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【题目】如图,在等边△ABC中,M是AC上一点,N是BC上一点,且AM=BN,∠MBC=25°,AN与BM交于点O,则∠MON的度数为( )
A. 110° B. 105° C. 90° D. 85°
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【题目】如图1,△ABC中,D、E、F三点分别在AB,AC,BC三边上,过点D的直线与线段EF的交点为点H,∠1+∠2=180°,∠3=∠C.
(1)求证:DE∥BC;
(2)在以上条件下,若△ABC及D,E两点的位置不变,点F在边BC上运动使得∠DEF的大小发生变化,保证点H存在且不与点F重合,探究:要使∠1=∠BFH成立,请说明点F应该满足的位置条件,在图2中画出符合条件的图形并说明理由.
(3)在(2)的条件下,若∠C=α,直接写出∠BFH的大小 .
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