Question

【题目】已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝90°，∠ABD＝90°，AB＝BD，BC＝4，（点A、D分别在直线BC的上下两侧），点G是Rt△ABD的重心，射线BG交边AD于点E，射线BC交边AD于点F．

（1）求证：∠CAF＝∠CBE；

（2）当点F在边BC上，AC＝1时，求BF的长；

（3）若△BGC是以BG为腰的等腰三角形，试求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）BF＝；（3）AC＝2或2．

【解析】

（1）根据重心的定义可得BE是Rt△ABD的中线，然后根据三线合一可得∠AEB＝90°，再根据三角形外角的性质即可证出结论；

（2）过点D作DH⊥BC于H，利用AAS证出△ABC≌△BDH，从而可得AC＝BH＝1，HD＝BC＝4，然后根据相似三角形的判定证出△AFC∽△DFH，列出比例式即可求出结论；

（3）根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别画出对应的图形，根据重心的定义、垂直平分线的判定、全等三角形的判定及性质和勾股定理即可分别求出结论．

（1）∵点G是Rt△ABD的重心，

∴BE是Rt△ABD的中线，

又∵在Rt△ABC中，∠ABD＝90°，AB＝BD，

∴BE⊥AD，即∠AEB＝90°，

∵∠AFB＝∠ACF+∠FAC＝∠FBE+∠BEF，且∠ACF＝∠BEF＝90°，

∴∠CAF＝∠CBE；

（2）过点D作DH⊥BC于H，

∵∠ABD＝90°，

∴∠ABC+∠DBC＝90°，且∠ABC+∠BAC＝90°，

∴∠BAC＝∠DBC，且AB＝BD，∠ACB＝∠BHD，

∴△ABC≌△BDH（AAS）

∴AC＝BH＝1，HD＝BC＝4，

∴HC＝3，

∵∠ACB＝∠DHC＝90°，∠AFC＝∠DFH，

∴△AFC∽△DFH，

∴＝

∴CF＝HF，

∴HF＝＝，

∴BF＝BH+HF＝1+＝；

（3）当GC＝GB时，如图，连接DG并延长交BC于H，交AB于N，连接NC，

∵点G是Rt△ABD的重心，

∴AN＝BN，

∵∠ACB＝90°，

∴BN＝NC＝AN，

∴点N在BC的垂直平分线上，

∵BG＝GC，

∴点G在BC的垂直平分线上，

∴DN垂直平分BC，

∴BH＝HC＝2，DH⊥BC，

∵∠ABD＝90°，

∴∠ABC+∠DBC＝90°，且∠ABC+∠BAC＝90°，

∴∠BAC＝∠DBC，且AB＝BD，∠ACB＝∠BHD，

∴△ABC≌△BDH（AAS）

∴AC＝BH＝2；

若BG＝BC＝4，如图，

∵点G是Rt△ABD的重心，

∴BG＝2GE，

∴GE＝2，

∴BE＝6，

∵∠ABD＝90°，AB＝BD，BE⊥AD

∴BE＝AE＝6，

∴AB＝AE＝6，

∴AC＝＝＝2，

综上所述：AC＝2或2．