【题目】如图,在⊙O中,AB是直径,点D是⊙O上一点,点C是的中点,弦CE⊥AB于点F,过点D的切线交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CF、BC于点P、Q,连接AC.给出下列结论:①∠BAD=∠ABC;②GP=GD;③点P是△ACQ的外心;④APAD=CQCB.其中正确的是_____(写出所有正确结论的序号).
【答案】②③④
【解析】
①错误,假设成立,推出矛盾即可;
②正确.想办法证明∠GPD=∠GDP即可;
③正确.想办法证明PC=PQ=PA即可;
④正确.证明△APF∽△ABD,可得APAD=AFAB,证明△ACF∽△ABC,可得AC2=AFAB,证明△CAQ∽△CBA,可得AC2=CQCB,由此即可解决问题;
:①错误,假设∠BAD=∠ABC,则,
∵,
∴,显然不可能,故①错误.
②正确.连接OD.
∵GD是切线,
∴DG⊥OD,
∴∠GDP+∠ADO=90°,
∵OA=OD,
∴∠ADO=∠OAD,
∵∠APF+∠OAD=90°,∠GPD=∠APF,
∴∠GPD=∠GDP,
∴GD=GP,故②正确.
③正确.∵AB⊥CE,
∴ ,
∵,
∴,
∴∠CAD=∠ACE,
∴PC=PA,
∵AB是直径,
∴∠ACQ=90°,
∴∠ACP+∠QCP=90°,∠CAP+∠CQP=90°,
∴∠PCQ=∠PQC,
∴PC=PQ=PA,
∵∠ACQ=90°,
∴点P是△ACQ的外心.故③正确.
④正确.连接BD.
∵∠AFP=∠ADB=90°,∠PAF=∠BAD,
∴△APF∽△ABD,
∴,
∴APAD=AFAB,
∵∠CAF=∠BAC,∠AFC=∠ACB=90°,
∴△ACF∽△ABC,
可得AC2=AFAB,
∵∠ACQ=∠ACB,∠CAQ=∠ABC,
∴△CAQ∽△CBA,可得AC2=CQCB,
∴APAD=CQCB.故④正确,
故答案为②③④.
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【题目】某商场销售一种品牌羽绒服和防寒服,其中羽绒服的售价是防寒服售价的5倍还多100元,2014年1月份(春节前期)共销售500件,羽绒服与防寒服销量之比是4:1,销售总收入为58.6万元.
(1)求羽绒服和防寒服的售价;
(2)春节后销售进入淡季,2014年2月份羽绒服销量下滑了6m%,售价下滑了4m%,防寒服销量和售价都维持不变,结果销售总收入下降为16.04万元,求m的值.
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【题目】如图1,李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验:在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物,在右边活动托盘B(可左右移动)中放置一定质量的砝码,使得仪器左右平衡.改变活动托盘B与点O的距离x(cm),观察活动托盘B中砝码的质量y(g)的变化情况.实验数据记录如表:
(1)把表中(x,y)的各组对应值作为点的坐标,在图2的坐标系中描出相应的点,用平滑曲线连接这些点;
(2)观察所画的图象,猜测y与x之间的函数关系,求出函数关系式;
(3)当砝码的质量为24g时,活动托盘B与点O的距离是多少?
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【题目】如图,抛物线y=a( x+1 )2-4a(a<0)与x轴交于点A、B(A在B的左侧),与y轴交于点C,CD∥x轴交抛物线于点D,连接BD交抛物线的对称轴于点E,连接BC、CE.
(1)抛物线顶点坐标为 (用含a的代数式表示),A点坐标为 ,
(2)当△DCE的面积为时,求a的值;
(3)当△BCE为直角三角形时,求抛物线的解析式.
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【题目】如图,BD为圆O的直径,直线ED为圆O的切线,A、C两点在圆上,AC平分∠BAD且交BD于F点.若∠ADE=19°,则∠AFB的度数为何?( )
A. 97° B. 104° C. 116° D. 142°
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【题目】同学们都学习过《几何》课本第三册第199页的第11题,它是这样的:如图,A为⊙O的直径EF上的一点,OB是和这条直径垂直的半径,BA和⊙O相交于另一点C,过点C的切线和EF的延长线相交于点D,求证:DA=DC.
(1)现将图1中的直径EF所在直线进行平行移动到图2所示的位置,此时OB与EF垂直相交于H,其它条件不变.
①求证:DA=DC;
②当DF:EF=1:8,且DF=时,求ABAC的值.
(2)将图2中的EF所在直线继续向上平行移动到图3所示的位置,使EF与OB的延长线垂直相交于H,A为EF上异于H的一点,且AH小于⊙O的切线交EF于D,试猜想:DA=DC是否仍然成立?证明你的结论.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2﹣4ax+3a的对称轴交于点A(m,﹣1),点A关于x轴的对称点恰为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的对称轴及a的值;
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记直线y=kx+b(k≠0)与抛物线围成的封闭区域(不含边界)为W.
①当k=1时,直接写出区域W内的整点个数;
②若区域W内恰有3个整点,结合函数图象,求b的取值范围.
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【题目】如图,Rt△AOB中,AB⊥OB,且AB=OB=3,设直线截此三角形所得阴影部分的面积为S,则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的( )
A. B. C. D.
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【题目】如图的矩形ABCD中,E为AB的中点,有一圆过C、D、E三点,且此圆分别与AD、BC相交于P、Q两点.甲、乙两人想找到此圆的圆心O,其作法如下:
(甲) 作∠DEC的角平分线L,作DE的中垂线,交L于O点,则O即为所求;
(乙) 连接PC、QD,两线段交于一点O,则O即为所求.
对于甲、乙两人的作法,下列判断何者正确?( )
A. 两人皆正确 B. 两人皆错误
C. 甲正确,乙错误 D. 甲错误,乙正确
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