Question

10．如图，在?ABCD中，AB=3，BC=5，对角线AC⊥AB，点P从点D出发，沿折线DC-CB以每秒1个单位长度的速度项终点B运动（不与点B、D重合），过点P作PE⊥AB，交射线BA于点E，连接PD、DE．设点P的运动时间为t（秒），△PDE与?ABCD重叠部分图形的面积为S（平方单位）．
（1）AD与BC间的距离等于$\frac{12}{5}$；
（2）求PE的长（用含t的代数式表示）；
（3）求S与t之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）过点A作AF⊥BC，垂足为F，在三角形ABC中依据勾股定理可求得AC的长，然后依据三角形的面积公式可求得AF的长，从而得到AD与BC之间的距离；
（2）当0＜t≤3时，如图2所示，先证明四边形AEPC是平行四边形，从而可知PE=AC=4；当3＜t＜8时，如图3所示；由题意可知PE∥AC，从而得到△BPE∽△BCA，由相似三角形的性质可知：$\frac{PE}{AC}=\frac{BP}{BC}$，从而可证得PE=$\frac{4（8-t）}{5}$=$-\frac{4}{5}t+\frac{32}{5}$；
（3）当0＜t≤3时，如图4所示；设PE与AD的交点为F．由题意可知PF∥AC，从而得到△DPF∽△DCA，由相似三角形的性质可知$\frac{PF}{AC}=\frac{DP}{DC}$，从而可求得PF=$\frac{4t}{3}$，由三角形的面积公式可知S=$\frac{1}{2}DP•PF$=$\frac{2}{3}{t}^{2}$；当3＜t＜8时，如图5所示：延长DC、EP交于点G，则DG⊥EG．由证明△CPG∽△BCA，从而得到$\frac{CG}{AB}=\frac{PC}{BC}$，于是可求得DG=$\frac{3（t-3）}{5}$+3=$\frac{3t}{5}+\frac{6}{5}$，由三角形的面积公式可知：S=$\frac{1}{2}$PE•DG=-$\frac{6}{25}{t}^{2}+\frac{36}{25}t+\frac{96}{25}$．

解答 解：（1）如图1所示：过点A作AF⊥BC，垂足为F．

∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°．
在Rt△ABC中由勾股定理得：AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4．
∵${S}_{△ACB}=\frac{1}{2}AB•AC=\frac{1}{2}BC•AF$，
∴AF•BC=AB•AC，即5AF=12．
解得：AF=$\frac{12}{5}$．
∴AD与BC间的距离等于$\frac{12}{5}$．
故答案为：$\frac{12}{5}$．
（2）当0＜t≤3时，如图2所示；

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∵PE⊥AB，AC⊥AB，
∴PE=AC=4．
当3＜t＜8时，如图3所示；

∵PE⊥AB，AC⊥AB，
∴PE∥AC．
∴△BPE∽△BCA．
∴$\frac{PE}{AC}=\frac{BP}{BC}$，即$\frac{PE}{4}=\frac{8-t}{5}$．
∴当PE=$\frac{4（8-t）}{5}$=$-\frac{4}{5}t+\frac{32}{5}$．
∴PE的长度=$\left\{\begin{array}{l}{4（0＜t≤3）}\\{-\frac{4}{5}t+\frac{32}{5}（3＜t＜8）}\end{array}\right.$．
（3）当0＜t≤3时，如图4所示；设PE与AD的交点为F．

∵AC⊥AB，PE⊥AB，
∴PF∥AC．
∴△DPF∽△DCA．
∴$\frac{PF}{AC}=\frac{DP}{DC}$，即$\frac{PF}{4}=\frac{t}{3}$．
解得：PF=$\frac{4t}{3}$．
∴S=$\frac{1}{2}DP•PF$=$\frac{1}{2}×\frac{4}{3}t•t$=$\frac{2}{3}{t}^{2}$．
当3＜t＜8时，如图5所示：延长DC、EP交于点G，则DG⊥EG．

∵AB∥CD，
∴∠B=∠PCG．
∵∠BAC=∠PGC．
∴△CPG∽△BCA．
∴$\frac{CG}{AB}=\frac{PC}{BC}$，即$\frac{CG}{3}=\frac{t-3}{5}$．
∴OG=$\frac{3（t-3）}{5}$+3=$\frac{3t}{5}+\frac{6}{5}$．
∴S=$\frac{1}{2}$PE•DG=$\frac{1}{2}×（-\frac{4}{5}t+\frac{32}{5}）（\frac{3}{5}t+\frac{6}{5}）$=-$\frac{6}{25}{t}^{2}+\frac{36}{25}t+\frac{96}{25}$．
综上所述S与t的函数关系式为S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}{t}^{2}（0＜t≤3）}\\{-\frac{6}{25}{t}^{2}+\frac{36}{25}t+\frac{96}{25}（3＜t＜8）}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查的是相似三角形的综合应用，解答本题主要应用了相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质和判定、勾股定理、三角形的面积公式，依据相似三角形的性质求得PE与DG的长度（用含t的式子表示）是解题的关键．