Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF平分∠BCD，交EA的延长线于点F，且BC=4，CD=2，给出下列结论：①∠BAE=∠CAD；②∠DBC=30°；③AE=；④AF=，其中正确的是______.（填写所有正确结论的序号）

Answer 1

【答案】①③④

【解析】分析：根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，等量代换得到∠BAE=∠CAD，故①正确；根据三角函数的定义得到tan∠DBC==，于是得到∠DBC≠30°，故②错误；由勾股定理得到BD==2，根据相似三角形的性质得到AE=；故③正确；根据角平分线的定义得到∠BCF=45°，求得∠ACF=45°﹣∠ACB，推出∠EAC=2∠ACF，根据外角的性质得到∠EAC=∠ACF+∠F，得到∠ACF=∠F，根据等腰三角形的判定得到AF=AC，于是得到AF=2，故④正确．

详解：在矩形ABCD中，∵∠BAD=90°．∵AE⊥BD，∴∠AED=90°，∴∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠ADB．∵∠CAD=∠ADB，∴∠BAE=∠CAD，故①正确；

∵BC=4，CD=2，∴tan∠DBC==，∴∠DBC≠30°，故②错误；

∵BD==2．∵AB=CD=2，AD=BC=4．∵△ABE∽△DBA，∴，即，∴AE=；故③正确；

∵CF平分∠BCD，∴∠BCF=45°，∴∠ACF=45°﹣∠ACB．∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BAE=∠ACB，∴∠EAC=90°﹣2∠ACB，∴∠EAC=2∠ACF．∵∠EAC=∠ACF+∠F，∴∠ACF=∠F，∴AF=AC．∵AC=BD=2，∴AF=2，故④正确；

故答案为：①③④．