Question

【题目】问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．

问题探究：在“问题情境”的基础上，

（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；

（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P'处．若正方形ABCD的边长为4 ，AD的中点为S，求P'S的最小值．

问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为G、H．若AG＝，请直接写出FH的长．

Answer 1

【答案】问题情境：.理由见解析；问题探究：（1）；（2）的最小值为；问题拓展：.

【解析】

问题情境：过点B作BF∥MN分别交AE、CD于点G、F，证出四边形MBFN为平行四边形，得出NF＝MB，证明△ABE≌△BCF得出BE＝CF，即可得出结论；

问题探究：（1）连接AQ，过点Q作HI∥AB，分别交AD、BC于点H、I，证出△DHQ是等腰直角三角形，HD＝HQ，AH＝QI，证明Rt△AHQ≌Rt△QIE得出∠AQH＝∠QEI，得出△AQE是等腰直角三角形，得出∠EAQ＝∠AEQ＝45°，即可得出结论；

（2）连接AC交BD于点O，则△APN的直角顶点P在OB上运动，设点P与点B重合时，则点P′与点D重合；设点P与点O重合时，则点P′的落点为O′，由等腰直角三角形的性质得出∠ODA＝∠ADO′＝45°，当点P在线段BO上运动时，过点P作PG⊥CD于点G，过点P′作P′H⊥CD交CD延长线于点H，连接PC，证明△APB≌△CPB得出∠BAP＝∠BCP，证明Rt△PGN≌Rt△NHP'得出PG＝NH，GN＝P'H，由正方形的性质得出∠PDG＝45°，易得出PG＝GD，得出GN＝DH，DH＝P'H，得出∠P'DH＝45°，故∠P'DA＝45°，点P'在线段DO'上运动；过点S作SK⊥DO'，垂足为K，即可得出结果；

问题拓展：延长AG交BC于E，交DC的延长线于Q，延长FH交CD于P，则EG＝AG＝，PH＝FH，得出AE＝5，由勾股定理得出BE＝＝3，得出CE＝BC﹣BE＝1，证明△ABE∽△QCE，得出QE＝AE＝，AQ＝AE+QE＝，证明△AGM∽△ABE，得出AM＝，由折叠的性质得：AB'＝EB＝3，∠B'＝∠B＝90°，∠C'＝∠BCD＝90°，求出B'M＝，AC'＝1，证明△AFC'∽△MAB'，得出AF＝，证明△DFP∽△DAQ，得出FP＝，得出FH＝FP＝．

问题情境：因为四边形是正方形，

所以.

过点作分别交于点.

所以四边形为平行四边形.

所以.所以，

所以，

又因为，

所以.，所以.

因为，所以，所以.

问题探究：

（1）连接，过点作，分别交于点.易得四边形矩形.

所以且.

因为是正方形的对角线，所以.

所以是等腰直角三角形，.所以.

因为是的垂直平分线，所以.

所以.所以.

所以.所以.

所以是等腰直角三角形，，即.

（2）如图所示，连接交于点，由题意易得的直角顶点在上运动.

设点与点重合，则点与点重合；

设与点重合，则点的落点为.易知.

当点在线段上运动时，

过点作的垂线，垂足为，

过点作，垂足为点.

易证：，

所以，

因为是正方形的对角线，

所以，易得，所以.

所以.

所以，故.

所以点在线段上运动.

过点作，垂足为，因为点为的中点，

所以，则的最小值为.

问题拓展：

解：延长AG交BC于E，交DC的延长线于Q，延长FH交CD于P，如图4：

则EG＝AG＝，PH＝FH，

∴AE＝5，

在Rt△ABE中，BE＝＝3，

∴CE＝BC﹣BE＝1，

∵∠B＝∠ECQ＝90°，∠AEB＝∠QEC，

∴△ABE∽△QCE，

∴

∵AG⊥MN，

∴∠AGM＝90°＝∠B，

∵∠MAG＝∠EAB，

∴△AGM∽△ABE，

∴，即，

解得：，

由折叠的性质得：AB'＝EB＝3，∠B'＝∠B＝90°，∠C'＝∠BCD＝90°，

∴B'M＝，

∵∠BAD＝90°，

∴∠B'AM＝∠C'FA，

∴△AFC'∽△MAB'，

∴，

解得：

∵AG⊥MN，FH⊥MN，

∴AG∥FH，

∴AQ∥FP，

∴△DFP∽△DAQ，

∴，即，

解得：FP＝，

∴FH＝．