Question

【题目】定义:三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连结AD，若，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”.

（1）如图2，△ABC的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”.

（2）△ABC中，BC=9，，，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长.

（3）如图3，△ABC是的内接三角形，OH⊥AB于点H，连结CH并延长交于点D.

①求证：点H是△BCD中CD边上的“好点”.

②若的半径为9，∠ABD=90°，OH=6，请直接写出的值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）或5；（3）①详见解析；②.

【解析】

（1）作AB边上的垂线或中线即可；

（2）作AE⊥BC于点E，根据三角函数求出BE、CE、AE的长，设DE为a，分①若点D在点E左侧②若点D在点E右侧，根据“好点”的定义进行求解即可；

（3）①根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”证△AHC∽△DHB，再根据“好点”的定义判断即可；

②连接AD，根据∠ABD=90°判断AD为直径，用勾股定理求出AH的长，再根据勾股定理求出DH的长，根据①中的结论求出CH的长即可求得比值.

（1）如图所示：D点及为AB边上的“好点”

（2）作AE⊥BC于点E，由，可设AE=4x，

则BE=3x，CE=6x，

∴BC=9x=9，∴，

∴BE=3，CE=6，AE=4，

设DE=a，

①若点D在点E左侧，

由点D是BC边上的“好点”知，，

∴，即，

解得，（舍去），

∴.

②若点D在点E右侧，

由点D是BC边上的“好点”知，，

∴，即，

解得，（舍去）

∴.

∴或5.

（3）①∵∠CHA=∠BHD，∠ACH=∠DBH

∴△AHC∽△DHB

∴，即

∵OH⊥AB

∴AH=BH

∴

∴点H是△BCD中CD边上的“好点”.

②连接AD.

∵∠ABD=90°

∴AD为直径，

∵OH⊥AB，OH=6

∴ ，BD=2OH=12

∴BH=AH=

∴

由①得：

即

∴CH=

∴.