Question

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=2∠C，求证：AB+AD=BC．（有不同证法）

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质

专题：

分析：可过A作AE∥CD交BC于点E，证明四边形ADCE为平行四边形，再证明BA=BE即可；也可过D作DF∥BA交BC于点F，证明四边形ABFD为平行四边形，再证明DF=CF即可．

解答：解：方法一：
如图1，过A作AE∥CD交BC于点E，

∵AD∥BC，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∴AD=EC，
∴∠C=∠AEB，且∠DAE=∠AEB，
∴∠C=∠DAE，
又∵∠DAB=2∠C，
∴∠BAE=∠C=∠BEA，
∴AB=BE，
∴BC=CE+BE=AD+AB．
方法二：
如图2，过D作DF∥AB，

∵AD∥BC，
∴四边形ABFD为平行四边形，
∴AD=BF，AB=DF，
∴∠A+∠B=180°，∠B=∠DFC，
∴∠A+∠DFC=180°，
又∵∠A=2∠C，
∴2∠C+∠DFC=180°，
又∵∠DFC+∠C+∠FDC=180°，
∴∠C=∠FDC，
∴DF=FC，
∴BC=BF+FC=AD+AB．

点评：本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行?四边形为平行四边形，②两组对边分别相等?四边形为平行四边形，③一组对边平行且相等?四边形为平行四边形，④两组对角分别相等?四边形为平行四边形，⑤对角线互相平分?四边形为平行四边形．