Question

如图，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AD是BC边上的中线，EF是AD的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点F，求AE：BE的值．

Answer 1

考点：勾股定理,线段垂直平分线的性质

专题：

分析：连结DE．设BD=k，BE=x，则DC=k，AB=2k，AE=2k-x．先由勾股定理得出DE²=BD²+BE²=k²+x²，再由EF是AD的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得出AE=DE，即（2k-x）²=k²+x²，解方程求出x=

3

4

k，于是BE=

3

4

k，AE=

5

4

k，进而得到AE：BE的值．

解答：解：连结DE．设BD=k，BE=x，则DC=k，AB=2k，AE=2k-x．
∵∠B=90°，
∴DE²=BD²+BE²=k²+x²，
∵EF是AD的垂直平分线，
∴AE=DE，
∴（2k-x）²=k²+x²，
∵k≠0，
∴x=

3

4

k，
∴BE=

3

4

k，AE=2k-

3

4

k=

5

4

k，
∴AE：BE=

5

4

k：

3

4

k=5：3．

点评：本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，准确作出辅助线利用方程思想是解题的关键．