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【题目】如图,已知直线y=kx+6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A,B两点,且点A(1,4)为抛物线的顶点,点B在x轴上.

(1)求抛物线的解析式;

(2)在(1)中抛物线的第三象限图象上是否存在一点P,使△POB与△POC全等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)若点Q是y轴上一点,且△ABQ为直角三角形,求点Q的坐标.

【答案】(1)y=﹣(x﹣1)2+4=﹣x2+2x+3

(2)存在.P().

(3)Q点坐标为(0,)或(0,-)或(0,1)或(0,3).

【解析】

试题分析:(1)由待定系数法确定函数解析式;

(2)先确定出点C坐标,再由△POB≌△POC建立方程,求解即可,

(3)分三种情况计算,分别判断△DAQ1∽△DOB,△BOQ2∽△DOB,△BOQ3∽△Q3EA,列出比例式建立方程求解即可.

试题解析:(1)把A(1,4)代入y=kx+6,

∴k=﹣2,

∴y=﹣2x+6,

由y=﹣2x+6=0,得x=3

∴B(3,0).

∵A为顶点

∴设抛物线的解析为y=a(x﹣1)2+4,

∴a=﹣1,

∴y=﹣(x﹣1)2+4=﹣x2+2x+3

(2)存在.

当x=0时y=﹣x2+2x+3=3,

∴C(0,3)

∵OB=OC=3,OP=OP,

∴当∠POB=∠POC时,△POB≌△POC,

作PM⊥x轴于M,作PN⊥y轴于N,

∴∠POM=∠PON=45°.

∴PM=PN

∴设P(m,m),则m=﹣m2+2m+3,

∴m=

∵点P在第三象限,

∴P().

(3)①如图,当∠Q1AB=90°时,作AE⊥y轴于E,

∴E(0,4)

∵∠DA Q1=∠DOB=90°,∠AD Q1=∠BDO

∴△DAQ1∽△DOB,

∴DQ1=

∴OQ1=

∴Q1(0,);

②如图,

当∠Q2BA=90°时,∠DBO+∠OBQ2=∠OBQ2+∠O Q2B=90°

∴∠DBO=∠O Q2B

∵∠DOB=∠B O Q2=90°

∴△BOQ2∽△DOB,

∴OQ2=

∴Q2(0,-);

③如图,当∠AQ3B=90°时,∠AEQ3=∠BOQ3=90°,

∴∠AQ3E+∠E AQ3=∠AQ3E+∠B Q3O=90°

∴∠E AQ3=∠B Q3O

∴△BOQ3∽△Q3EA,

,,

∴OQ324OQ3+3=0,

∴OQ3=13,

∴Q3(0,1)(0,3).

综上,Q点坐标为(0,)或(0,-)或(0,1)或(0,3).

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