Question

【题目】如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP．

（1）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系，请证明你的猜想；
（2）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ．你认为（1）中所猜想的BQ与AP的数量关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）若AC=BC=4，设△EFP平移的距离为x，当0≤x≤8时，△EFP与△ABC重叠部分的面积为S，请写出S与x之间的函数关系式，并求出最大值．

Answer 1

【答案】（1）BQ=AP，证明见解析；（2）BQ=AP，证明见解析；（3）当0≤x＜4时，S =-x2+4x；当4≤x≤8时，S=（8-x）2；当x=时，S的最大值为．

【解析】

（1）猜想：BQ=AP．

证明：由题意可知EF⊥FP，又EF=FP，

所以∠EPF=45°，

所以QC=CP，又∠BCQ=∠ACP=90°，AC=BC，

所以△BCQ≌△ACP，

∴BQ=AP；

（2）BQ=AP成立．

证明：∵∠EPF=45°，AC⊥CP，

∴CQ=CP，

又∵BC=AC，

∴Rt△BCQ≌Rt△ACP，

∴BQ=AP；

（3）当0≤x＜4时，如图2中，重叠部分是五边形MGFCQ，

S=S△BMP-2S△BGF=（8-x）2-2×（4-x）2=-x2+4x，

当4≤x≤8时，如图3中，重叠部分是△PBG，

S=S△PBG=（8-x）2，

当0≤x＜4时，当x=时，S取最大值为；

当4≤x≤8时，当x=4时，S取最大值为4．

∴当x=时，S的最大值为．