Question

【题目】在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将△ABD沿着BD折叠，使点A与点E重合．

（1）如图，对角线AC、BD相交于点O，连接OE，则线段OE的长＝ ；

（2）如图，过点E作EF∥CD交线段BD于点F，连接AF，求证：四边形ABEF是菱形；

（3）如图，在（2）条件下，线段AE、BD相交于M，连接CE，求线段CE的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）根据翻折的特点知OE=OA，由勾股定理求出AC即可求出OA；

（2）先证明四边形ABEF是平行四边形，再由翻折知AB=BE，即可得到四边形ABEF是菱形；

（3）先在（2）的前提下，求出BM的长，从而得到BF的长，然后求出DF，再证明出四边形DFEC是平行四边形即可得到EC=DF=．

解：(1) ．

由翻折知识知：OE=OA，

∵OA= ,AC= , AB＝3，AD＝4，

∴AC=5，

∴OE= OA= =,

故答案为：．

(2)证明：

∵ 四边形ABCD是菱形，

∴ AB∥CD，

∵ EF∥CD，

∴ AB∥EF ，

∴ ∠ABF=∠BFE，

由翻折性质可得：

∠ABF＝∠EBF，AB＝BE ，

∴ ∠BFE＝∠EBF，

∴ BE＝FE，

∵ AB＝BE，

∴ AB＝FE，

∵ AB∥EF，

∴ 四边形ABEF是平行四边形，

又∵ BE＝FE，

∴ 平行四边形ABEF是菱形；

(3)如图，∵平行四边形ABEF是菱形，

∴ AE⊥BD，BM＝FM，

，

∴ ，

∴ AM＝，

∴ 根据勾股定理得BM＝，

∴ BF＝2BM＝ ∴ DF＝BD－BF＝，

∵ EH∥CD，EF＝CD，

∴ 四边形EFCD是平行四边形，

∴ CE＝DF＝．