Question

如图：⊙O₁和⊙O₂是等圆，P是O₁O₂的中点．过点P作直线AD交⊙O₁于点A、B，交⊙O₂于点C、D，求证：AB=CD．

Answer 1

考点：垂径定理,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：分别过O₁，O₂作O₁E⊥AB，O₂F⊥CD垂足分别为E，F，由已知条件易证△O₁EP≌△O₂FP（AAS），所以O₁E=O₂F，进而可得出结论．

解答：证明：分别过O₁，O₂作O₁E⊥AB，O₂F⊥CD垂足分别为E，F，
∴∠O₁EP=∠O₂FP=90°，
∵P是O₁O₂中点，
∴O₁P=O₂P，
在△O₁EP与△O₂FP中，

∠O1EP=∠O2FP ∠O1MP=O2FM O1P=O2P

，
∴△O₁EP≌△O₂FP（AAS），
∴O₁E=O₂F，
∴AB=CD（同圆或等圆中，相等的弦心距所对的弦相等）．

点评：本题考查的是垂径定理，圆与圆的位置关系，全等三角形的判断和性质以及圆心定理，题目的综合性较强，难度不大，是中考常见题型．