Question

如图1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．
（1）连接BE，CD，求证：BE=CD；
（2）如图2，作DP∥BC交EA于D′，交EC于P．
①判断△ADD′的形状，并证明；
②若△BDD′≌△D′PC，求证：AC=2AD′．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）易证∠DAE=60°，可得∠DAC=∠BAE=120°，即可证明△DAC≌△BAE，可得BE=CD；
（2）①易证∠ADP=60°，根据∠DAE=60°即可判定△ADD′是等边三角形；
②易证BD=AD'，根据△BDD′≌△D′PC，可得PD'=PC，即可求得∠ACD'=30°，根据30°角所对直角边是斜边一半即可解题．

解答：证明：（1）∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠BAD=∠EAC=60°，
∴∠DAE=60°，
∴∠DAC=∠BAE=120°，
∵在△DAC和△BAE中，

AD=AB ∠DAC=∠BAE=120° AC=AE

，
∴△DAC≌△BAE，（SAS）
∴BE=CD；

（2）①∵DP∥BC，
∴∠ADP=∠DAB=60°，
∵∠DAE=60°，
∴△ADD′是等边三角形；
②∵△ABD，△ADD′是等边三角形，
∴BD=AD，AD=AD'，
∴BD=AD'，
∵△BDD′≌△D′PC，
∴PD'=PC，
∵DP∥BC，
∴∠EPD=60°，
∴∠PCD'=30°，
∴∠ACD'=30°，
∵∠EAC=60°，
∴∠AD'C=90°，
∴AC=2AD'．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了30°角所对直角边是斜边一半的性质，本题中求证△DAC≌△BAE是解题的关键．