Question

如图抛物线y=x²+bx+c（c＜0）与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，且OB=OC=3，点E为线段BD上的一个动点，EF⊥x轴于F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点E，使△ECF为直角三角形？若存在，求点E的坐标；不存在，请说明理由；
（3）连接AC、BC，若点P是抛物线上的一个动点，当P运动到什么位置时，∠PCB=∠ACO，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）易求得点B，C坐标，即可求得b、c的值，即可解题；
（2）易求得顶点D的坐标，即可求得直线BD的解析式，根据∠CEF=90°，即可求得点E纵坐标为-3，即可解题；
（3）存在2种情况：①∠PCB=∠ACO，②∠P'CB=∠ACO，可分别求得tan∠PCE的值，即可求得直线PC斜率，即可求得直线PC于抛物线交点P坐标，即可解题．

解答：解：（1）∵OB=OC=3，
∴点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，-3），
∵抛物线y=x²+bx+c经过点B，C，∴

c=-3 9+3b+c=0

，
解得：c=-3，b=-2，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3；
（2）∵抛物线的解析式为y=x²-2x-3，
∴点D坐标为（1，-4），
∵直线BD经过点B，D，设直线BD解析式为y=kx+b，
则

k+b=-4 3k+b=0

，
解得：k=2，b=-6，
∴直线BD解析式为y=2x-6，
∵△ECF为直角三角形，
∴∠CEF=90°，
∴点E纵坐标为-3，
∴点E横坐标为

3

2

，
∴点E坐标为（

3

2

，-3）；
（3）存在2种情况：

①∠PCB=∠ACO，
∵∠BCE=45°，
∴tan∠BCE=1，
∵tan∠ACO=

1

3

，
∴tan∠PCB=

1

3

，
∴tan∠PCE=tan（∠BCE-∠PCB）=

1- 1 3

1+ 1 3

=

1

2

，
∵直线PC经过点P，
∴直线PC解析式为：y=

1

2

x-3，
∴点P坐标为：（

5

2

，-

7

4

），
②∠P'CB=∠ACO，
∵∠BCE=45°，
∴tan∠BCE=1，
∵tan∠ACO=

1

3

，
∴tan∠P'CB=

1

3

，
∴tan∠P'CE=tan（∠BCE-∠P'CB）=

1+ 1 3

1- 1 3

=2，
∵直线PC经过点P，
∴直线PC解析式为：y=2x-3，
∴点P坐标为：（4，5）．

点评：本题考查了二次函数顶点的求解，考查了二次函数解析式的求解，考查了直线和抛物线交点的求解，本题中求得抛物线解析式是解题的关键．