Question

8．以△ABC的边AB、AC为直角边分别向外作等腰直角△ABD和△ACE，M是BC的中点，N是DE的中点，连接AM、AN．
（1）如图1，当∠BAC=90°时，其他条件不变，猜想线段BM与AN之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）如图2，当∠BAC≠90°时，其他条件不变，那么（1）中猜想的结论是否成立，如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先由SAS证明△ABC≌△ADE，得出BC=DE，再由已知条件得出BM=CM=$\frac{1}{2}$BC，AN=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$BC，即可得出结论；
（2）延长AN至F，使NF=AN，连接DF，先证明△ANE≌△FND，得出DF=AE=AC，∠F=NAE，证出DF∥AE，再证出∠FDA=∠BAC，由SAS证明△ABC≌△DAF，得出BC=AF，即可得出结论．

解答 解：（1）BM=AN；证明如下：
∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，
又∵∠BAC=90°，
∴∠EAD=90°．
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠BAC=∠DAE}&{\;}\\{AC=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴BC=DE，
∵M是BC的中点，N是DE的中点，
∴BM=CM=$\frac{1}{2}$BC，AN=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴BM=AN；
（2）成立；证明如下：如图2所示：
延长AN至F，使NF=AN，连接DF，
∵N是DE的中点，
∴DN=NE，
在△ANE和△FND中，$\left\{\begin{array}{l}{NE=DN}&{\;}\\{∠ANE=∠FND}&{\;}\\{AN=NF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ANE≌△FND（SAS），
∴DF=AE=AC，∠F=NAE，
∴DF∥AE，
∴∠FDA+∠DAE=180°，
∵∠BAC+∠DAE=360°-∠BAD-∠CAE=180°，
∴∠FDA=∠BAC，
在△ABC和△DAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠BAC=∠FDA}&{\;}\\{AC=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DAF（SAS），
∴BC=AF，
∵BM=CM=$\frac{1}{2}$BC，AN=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{1}{2}$BC，
∴BM=AN．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定；证明三角形全等是解决问题的关键．