Question

12．如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，BC与⊙O相切，B为切点，OP与AB的延长线交于点P．点C在OP上，且BC=PC．
（1）求证：OP⊥AD；
（2）若OA=3，AB=2，求BP的长．

Answer 1

分析 （1）连接OB，利用切线的性质定理和已知条件证明∠AOP=90°即可；
（2）连结DB．由AD是⊙O的直径，得到∠ABD=90°，推出Rt△ABD∽Rt△AOP，由相似三角形的性质：对应边的比值相等可得到和AP有关的比例式，把已知数据代入可求出AP的长，进而可求出BP的长；

解答 （1）证明：如图，连接OB，
∵BC切⊙O于B，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
∴∠CBP+∠OBA=90°．
∵BC=PC，
∴∠CBP=∠P，
∵OA=OB，
∴∠A=∠ABO，
∴∠A+∠P=90°，
∴∠AOP=90°．
∴OP⊥AD；
（2）解：如图，连结DB．
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴Rt△ABD∽Rt△AOP，
∴$\frac{AB}{AO}=\frac{AD}{AP}$，
即$\frac{2}{3}=\frac{6}{AP}$，
解得：AP=9，
∴BP=AP-BA=9-2=7．

点评 本题考查了切线的性质、相似三角形的判定和性质以及圆周角定理的运用，正确的作出辅助线是解题的关键．