Question

【题目】在下列正多边形中，是中心，定义：为相应正多边形的基本三角形．如图1，是正三角形的基本三角形；如图2，是正方形的基本三角形；如图3，为正边形…的基本三角形．将基本绕点逆时针旋转角度得．

（1）若线段与线段相交点，则：

图1中的取值范围是________；

图3中的取值范围是________；

（2）在图1中，求证

（3）在图2中，正方形边长为4，，边上的一点旋转后的对应点为，若有最小值时，求出该最小值及此时的长度；

（4）如图3，当时，直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）见解析；（3）最小值：，此时＝2+；（4）

【解析】

（1）根据正多边形的中心角的定义即可解决问题；

（2）如图1中，作OE⊥BC于E，OF⊥于F，连接．利用全等三角形的性质分别证明：BE＝，即可解决问题；

（3）如图2中，作点O关于BC的对称点E，连接OE交BC于K，连接交BC于点，连接，此时的值最小，即有最小值．

（4）利用等腰三角形三线合一的性质即可解决问题；

（1）由题意图1中，∵△ABC是等边三角形，O是中心，

∴∠AOB＝120°

∴∠α的取值范围是：0°＜α≤120°，

图3中，∵ABCDEF…是正n边形，O是中心，

∴∠BOC＝，

∴∠α的取值范围是：0°＜α≤，

故答案为：0°＜α≤120°，0°＜α≤．

（2）如图1中，作OE⊥BC于E，OF⊥于F，连接．

∵∠OEB＝∠OF＝90°，

根据题意，O是中心，∴OB＝OC，

∴∠OBE＝∠，

∴△OBE≌△OF（AAS），

∴OE＝OF，BE＝F

∵，

∴Rt△≌Rt△（HL），

∴，

∴．

（3）如图2中，作点O关于BC的对称点E，连接OE交BC于K，连接交BC于点，连接，此时的值最小．

∵∠＝135°，∠BOC＝90°，

∴∠OCB＝∠＝45°，

∴∥BC，

∵OK⊥BC，OB＝OC，

∴BK＝CK＝2，OB＝2，

∵∥，OK＝KE，

∴，

∴＝＝，

∴＝2+，

在Rt△中，＝．

∵，

∴有最小值，最小值为，此时＝2+．

（4）如图3中，

∵ABCDEF…是正n边形，O是中心，

∴∠BOC＝，

∵OC⊥， ，

∴∠＝∠＝∠BOC＝，

∴α＝．