Question

2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴，y轴分别交于点A，B．点C的坐标为（m，0），将线段BC绕点C顺时针旋转90°，并延长一倍得CD，过点D作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E．
（1）当m=3时，求出CF，DF的长；
（2）当0＜m＜6时，
①求DE的长（用含m的代数式表示）；
②请在直线AB上找点P，使得以C，D，E，P为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点P的坐标；
（3）连结BD，在y轴上是否存在一点Q，使得△COQ与△BDE相似？若存在，直接写出m的值和相应的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由在y=x+2中，令x=0得y=2，y=0得x=-2，得到OA=2，OB=2，△AOB是等腰直角三角形，再有DF⊥OC，得到△BOC∽△CFD，得比例式求解；
（2）由（1）知△BOC∽△CFD，再根据题意得：EF∥OB，于是得到△AFE是等腰直角三角形，根据AF=EF，求得DE，由四边形CDEP是平行四边形，得到PC∥DE，CD∥PE，求得∠DCF=∠EAF=45°，∠OCB=45°，得到OC=OB=2，求出m=2，得到结果；
（3）由△COQ与△BDE相似知，△BDE为直角三角形，得到∠BDE=90°，再由三角形相似求得结果．

解答 解：如图1，在y=x+2中，令x=0得y=2，y=0得x=-2，
∴A（-2，0）B（0，2），即OA=2，OB=2，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
（1）∵m=3，
∴OC=3，
∵∠BCD=90°，DF⊥OC，
得到△BOC∽△CFD，
∴$\frac{BC}{CD}$=$\frac{OC}{DF}$=$\frac{OB}{CF}$，
∵CD=2BC，
∴$\frac{3}{DF}$=$\frac{2}{CF}$=$\frac{1}{2}$，
∴CF=4，DF=6；

（2）如图1①∵OC=m，
由（1）知△BOC∽△CFD，
∴$\frac{m}{DF}$=$\frac{2}{CF}$=$\frac{1}{2}$，
根据题意得：EF∥OB，
∴△AFE是等腰直角三角形，
∴AF=EF，∴EF=m+6，
∴DE=6-m；
②第一种情况：如图2∵四边形PCDE是平行四边形，
∴PC∥DE，CD∥PE，
∴∠DCF=∠EAF=45°，
∴∠OCB=45°，
∴OC=OB=2，∴m=2，
∵点P在直线AB上，
∴P（2，4），
第二种情况：如图3，过点P作PH⊥AF于H，
当CE∥PD，CD∥PE，
∴∠DCF=45°=∠BCO，
∴m=2，CF=DF=4，EF=8，
∵PH=AH=12，
∴OH=10，
∴P（10，12）；

（3）如图4，∵△COQ与△BDE相似，
则△BDE为直角三角形，必有∠BDE=90°，
∴BD∥OF，
∴DF=OB=2，
∴OC=1，
∴m=1，
∵△BDE∽△COQ，
∴OQ=OC=1，
∵点Q在y轴上，
∴Q（1，0）．

点评 本题主要考查了平面直角坐标系中求点的坐标，等腰直角三角形性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质以及一次函数的综合应用，要注意的是（3）中，要根据P点的不同位置进行分类求解．