Question

【题目】已知中，，，点，分别在边，上（不与端点重合），，射线交延长线于点，点在直线上，.

（1）（观察猜想）如图1，点在射线上，当时，

①线段与的数量关系是______；

②的度数是______；

（2）（探究证明）如图2点在射线上，当时，判断并证明线段与的数量关系，求的度数；

（3）（拓展延伸）如图3，点在直线上，当时，，点是边上的三等分点，直线与直线交于点，请直接写出线段的长.

Answer 1

【答案】（1）①，②；（2）；（3）满足条件的的长为或4.

【解析】

（1）①延长交于点，交于点O，先由等边对等角得到，然后证明，即可得到BM=AN；②再由等边对等角和平行线推出，由三角形外角性质得到，可推出，即可得.

（2）同理可证，同（1）可推出 ，最后得到.

（3）当时，作于，在中，利用60°可求出边长，然后在在中求出BM，再由，利用相似比求出CF，当时，同法可求.

（1）①如图1中，延长交于点，交于点O.

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴；

②∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，，

∵∠ANB+∠ENF=180°，∠BMA+∠BMC=180°，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

故答案为①，②.

（2）如图2中，设交于点.

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴.

（3）①如图3-1中，当时，作于.

由题意，在中，

∵，，

∴，，，

在中，，

由（2）可知：，∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴.

②如图3-2中，当时，同法可得.

综上所述，满足条件的的长为或4.