Question

要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算，作Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，那么BC=

3

，∠ABC=30°，∴tan30°=

AC

BC

=

1

3

=

3

3

．在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究：tan15°与tan75°的值．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：阅读型

分析：根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD的长，进而得出tan15°=

CD

BC

，tan75°=

BC

CD

求出即可．

解答：解：作∠B的平分线交AC于点D，作DE⊥AB，垂足为E，
∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，
∴CD=DE，
设CD=x，则AD=1-x，AE=2-BC=2-BE=2-

3

，
在Rt△ADE中，
CD²+AE²=AD²
x²+（2-

3

）²=（1-x）²，
解得：x=2

3

-3，
∴tan15°=

CD

BC

=

2 3 -3

3

=2-

3

，tan75°=

BC

CD

=

3

2 3 -3

=2+

3

．

点评：此题主要考查了解直角三角形和勾股定理等知识，根据已知得出CD的长是解题关键．