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【题目】如图,已知AB是O的直径,点C在O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,COB=2PCB.

(1)求证:PC是O的切线;

(2)求证:BC=AB;

(3)点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,若AB=4,求MNMC的值.

【答案】(1)、证明过程见解析;(2)、证明过程见解析;(3)、8.

【解析】

试题分析:(1)、根据OA=OC得出A=ACO,根据COB=2A,,COB=2PCB,则A=ACO=PCB,根据AB为直径得出ACO+OCB=90°,则PCB+OCB=90°,得出切线;(2)、根据AC=PC得出A=P,则A=ACO=PCB=P,根据COB=A+ACOCBO=P+PCB得出COB=CBO,然后得出答案;(3)、连接AM、BM,根据M是弧的中点得出ACM=BCM,根据ACM=ABM得到BCM=ABM,从而得出MBN∽△MCB,根据相似比得出BM2=MNMC;根据等腰直角ABM中AB的长度得出AM和BM的长度,然后计算.

试题解析:(1)、如图OA=OC,A=ACO

COB=2A,COB=2PCBA=ACO=PCBABO的直径 ACO+OCB=90°

PCB+OCB=90°∴∠PCO=90°OCCP, OCO的半径PCO的切线.

(2)AC=PC,A=P A=ACO=PCB=P COB=A+ACOCBO=P+PCB

COB=CBOBC=OC,BC=AB;

(3)、连接MA,MB,

M是弧AB的中点 ACM=BCMACM=ABMBCM=ABM

BMN=BMC∴△MBN∽△MCB, BM2=MNMC,

ABO的直径∴∠AMB=90°,AM=BM,

AB=4,BM=2MNMC=BM2=(22=8

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