【题目】(1)如图1,Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD,其中AM=AN,线段MN与线段AD相交于点T,若AD=3AT,则tan∠ABM= ;
(2)如图2,在菱形ABCD中,CD=6,∠ADC=60°,菱形形内部有一动点P,满足S△PAB=S菱形ABCD,则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为 .
【答案】(1)tan∠ABM=;(2)PA+PB的最小值为2
.
【解析】
(1)先利用HL证明Rt△ABM≌Rt△AND,再证明△DNT∽△AMT,可得=
,由AD=3AT,推出
=
,在Rt△ABM中,tan∠ABM=
=
=
;
(2) 首先由S△PAB=S菱形ABCD,,得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2
的直线l上,作A关于直线l的对称点A′,连接AA′,连接BA′,则BA′的长就是所求的最短距离.然后在直角三角形ABA′中,由勾股定理求得BA′的值,即PA+PB的最小值.
(1)∵AD=AB,AM=AN,∠AMB=∠AND=90°,
∴Rt△ABM≌Rt△AND(HL).
∴∠DAN=∠BAM,DN=BM,
∵∠BAM+∠DAM=90°;∠DAN+∠ADN=90°,
∴∠DAM=∠ADN,
∴ND∥AM,
∴△DNT∽△AMT,
∴=
,
∵AT=AD,
∴=
,
在Rt△ABM中,tan∠ABM==
=
;
故答案为:;
(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CD=6,
连接AC,BD交于O,
∴AC⊥BD,
∵∠ADC=60°,
∴∠CDO=30°,
∴DO=3,OC=3,
∴BD=6,AC=6,
∴S菱形ABCD=×6×6
=18
;
设△ABP中AB边上的高是h,
∵S△PAB=S菱形ABCD,
∴ABh=
×18
=6
,
∴h=2,
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上,如图,作A关于直线l的对称点A′,连接AA′,连接BA′,则BA′的长就是所求的最短距离.
在Rt△ABE中,∵AB=6,AA′=4,
∴BA′==2
,
即PA+PB的最小值为2.
故答案为:2.
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【题目】利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为260元时,月销售量为45吨.该经销店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现:当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加7.5吨.综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元.
(1)当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量;
(2)在遵循“薄利多销”的原则下,问每吨材料售价为多少时,该经销店的月利润为9000元?
(3)小静说:“当月利润最大时,月销售额也最大.”你认为对吗?请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,点A是y轴上一点,其坐标为(0,6),点B在x轴的正半轴上.点P,Q均在线段AB上,点P的横坐标为m,点Q的横坐标大于m,在△PQM中,若PM∥x轴,QM∥y轴,则称△PQM为点P,Q的“肩三角形.
(1)若点B坐标为(4,0),且m=2,则点P,B的“肩三角形”的面积为 ;
(2)当点P,Q的“肩三角形”是等腰三角形时,求点B的坐标;
(3)在(2)的条件下,作过O,P,B三点的抛物线y=ax2+bx+c
①若M点必为抛物线上一点,求点P,Q的“肩三角形”面积S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围.
②当点P,Q的“肩三角形”面积为3,且抛物线y=ax2+bx+c与点P,Q的“肩三角形”恰有两个交点时,直接写出m的取值范围.
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【题目】如图,在△ABC中,AD是角平分钱,点E在AC上,且∠EAD=∠ADE.
(1)求证:△DCE∽△BCA;
(2)若AB=3,AC=4.求DE的长.
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【题目】如图,函数y=﹣x2+bx+c的部分图象与x轴、y轴的交点分别为A(1,0),B(0,3),对称轴是x=﹣1,在下列结论中,正确的是( )
A.顶点坐标为(﹣1,3)
B.抛物线与x轴的另一个交点是(﹣4,0)
C.当x<0时,y随x的增大而增大
D.b+c=1
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【题目】嘉淇同学利用业余时间进行射击训练,一共射击7次,经过统计,制成如图12所示的折线统计图.
(1)这组成绩的众数是 ;
(2)求这组成绩的方差;
(3)若嘉淇再射击一次(成绩为整数环),得到这8次射击成绩的中位数恰好就是原来7次成绩的中位数,求第8次的射击成绩的最大环数.
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【题目】如图,已知直线l1∥l2∥l3∥l4,相邻两条平行线间的距离都是1,正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上,则正方形ABCD的面积为
A. B. 5C. 3D.
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