Question

【题目】（1）如图1，Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM＝AN，线段MN与线段AD相交于点T，若AD＝3AT，则tan∠ABM＝　 ；

（2）如图2，在菱形ABCD中，CD＝6，∠ADC＝60°，菱形形内部有一动点P，满足S△PAB＝S菱形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为　 ．

Answer 1

【答案】（1）tan∠ABM＝；（2）PA+PB的最小值为2．

【解析】

(1)先利用HL证明Rt△ABM≌Rt△AND，再证明△DNT∽△AMT，可得＝，由AD＝3AT，推出＝，在Rt△ABM中，tan∠ABM＝＝＝；

(2) 首先由S△PAB＝S菱形ABCD，，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点A′，连接AA′，连接BA′，则BA′的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABA′中，由勾股定理求得BA′的值，即PA＋PB的最小值.

（1）∵AD＝AB，AM＝AN，∠AMB＝∠AND＝90°，

∴Rt△ABM≌Rt△AND（HL）．

∴∠DAN＝∠BAM，DN＝BM，

∵∠BAM+∠DAM＝90°；∠DAN+∠ADN＝90°，

∴∠DAM＝∠ADN，

∴ND∥AM，

∴△DNT∽△AMT，

∴＝，

∵AT＝AD，

∴＝，

在Rt△ABM中，tan∠ABM＝＝＝；

故答案为：；

（2）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝CD＝6，

连接AC，BD交于O，

∴AC⊥BD，

∵∠ADC＝60°，

∴∠CDO＝30°，

∴DO＝3，OC＝3，

∴BD＝6，AC＝6，

∴S菱形ABCD＝×6×6＝18；

设△ABP中AB边上的高是h，

∵S△PAB＝S菱形ABCD，

∴ABh＝×18＝6，

∴h＝2，

∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点A′，连接AA′，连接BA′，则BA′的长就是所求的最短距离．

在Rt△ABE中，∵AB＝6，AA′＝4，

∴BA′＝＝2，

即PA+PB的最小值为2．

故答案为：2．