Question

【题目】已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．

(1)如图1，猜想AE与BD的数量关系与位置关系，并加以证明.

(2)如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．

Answer 1

【答案】(1)AE=BD，AE⊥BD；(2)△ACB≌△DCE；△EMC≌△BNC；△AON≌△DOM；△AOB≌△DOE

【解析】

（1）根据全等三角形的性质即可求证△ACE≌△BCD，从而可知AE=BD、AE⊥BD；

（2）根据条件即可判断图中的全等直角三角形；

解：(1)AE=BD，AE⊥BD.

理由如下：

∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，

∠ACB=∠DCE=90°，

∴AC=BC，DC=EC，

∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，

∴∠BCD=∠ACE

在△ACE与△BCD中，

∴△ACE≌△BCD(SAS)

∴AE=BD,∠BDC=∠AEC

又∵在△DOM与△CME中,∠DMA=∠CME

∴∠DOM=∠MCE=90°

∴AE⊥BD

(2) ∵AC=DC，

∴AC=CD=EC=CB，∠ACB=∠DCE

△ACB≌△DCE(SAS)；

由(1)可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC

∴∠DOM=90°，

∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，

∴△EMC≌△BNC(ASA)，

∴CM=CN，

∴DM=AN，

△AON≌△DOM(AAS)，

∵DE=AB，AO=DO，

∴△AOB≌△DOE(HL)