Question

【题目】已知，如图，等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下列结论：①AC平分∠PAD；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AC＝AO+AP；其中正确的序号是（　　）

A.①③④B.②③C.①②④D.①③

Answer 1

【答案】A

【解析】

①利用等腰三角形等边对等角和三角形外角的性质得到∠PAC＝∠DAC=60°，从而判断；

②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；

③证明∠POC=60°且OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形；

④首先证明△OPA≌△CPE，则AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP．

解：①∵AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC；

∴∠CAD＝∠BAC＝60°，∠PAC＝180°﹣∠CAB＝60°，

∴∠PAC＝∠DAC，

∴AC平分∠PAD，故①正确；

②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，

∵点O是线段AD上一点，

∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，

故②不正确；

③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，

∴∠APC+∠DCP＝150°，

∵∠APO+∠DCO＝30°，

∴∠OPC+∠OCP＝120°，

∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，

∵OP＝OC，

∴△OPC是等边三角形；

故③正确；

④如图，在AC上截取AE＝PA，

∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，

∴△APE是等边三角形，

∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，

∴∠APO+∠OPE＝60°，

∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，

∴∠APO＝∠CPE，

∵OP＝CP，

在△OPA和△CPE中， ，

∴△OPA≌△CPE（SAS），

∴AO＝CE，

∴AC＝AE+CE＝AO+AP；

故④正确．

故选：A．