Question

【题目】如图，在等边△ABC中，M是边BC延长线上一点，连接AM交△ABC的外接圆于点D，延长BD至N，使得BN=AM，连接CN、MN，

（1）求证：△CMN是等边三角形；
（2）判断CN与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若AD：AB=3：4，BN=4，求等边△ABC的边长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：△CMN是等边三角形，

理由：在△BCN与△ACM中， ，

∴△BCN≌△ACM，

∴CN=CM，∠BCN=∠ACM，

∴∠BCN﹣∠ACN=∠ACM﹣∠ACN，

即∠MCN=∠ACB=60°，

∴△CMN是等边三角形

（2）解：连接OA．OB．OC，

在△BOC与△AOC中， ，

∴△BOC≌△AOC，

∴∠ACO=∠BCO= ACB=30°，

∵∠ACB=∠MCN=60°，

∴∠ACN=60°，

∴∠OCN=90°，

∴OC⊥CN，

∴CN是⊙O的切线

（3）解：∵∠ADB=∠ACB=60°，

∴∠ADB=∠ABC，

∵∠BAD=∠MAB，

∴△ABD∽△AMB，

∴ = ，

∵AM=BN=4，

∴AB=3．

∴等边△ABC的边长是3．

【解析】（1）利用边角边定理判定出三角形△BCN≌△ACM，再由三角形全等的性质得CN=CM，∠BCN=∠ACM，从而找到∠MCN=∠ACB=60°得到结论；（2）先由边边边得出△BOC≌△AOC，再由三角形全等的性质得∠ACO= 30°，由平角的定义得∠ACN=60°，进而∠OCN=90°得出CN是⊙O的切线；（3）由同弧所对的圆周角相等得∠ADB=∠ACB，进而得∠ADB=∠ABC从而△ABD∽△AMB，由相似三角形的性质得 = 得到AB的长度，最终得出等边△ABC的边长。
【考点精析】关于本题考查的圆周角定理和直线与圆的三种位置关系，需要了解顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；直线与圆有三种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点才能得出正确答案．