Question

已知，在矩形ABCD中，连接对角线AC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△EFG，并将它沿直线AB向左平移，直线EG与BC交于点H，连接AH，CG．
（1）如图①，当AB=BC，点F平移到线段BA上时，线段AH，CG有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你的猜想；
（2）如图②，当AB=BC，点F平移到线段BA的延长线上时，（1）中的结论是否成立，请说明理由；
（3）如图③，当AB=nBC（n≠1）时，对矩形ABCD进行如已知同样的变换操作，线段AH，CG有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你的猜想．

Answer 1

考点：四边形综合题,三角形的外角性质,全等三角形的判定与性质,矩形的性质,平移的性质,旋转的性质,相似三角形的判定与性质

专题：证明题,几何综合题

分析：（1）延长AH与CG交于点T，如图①，易证BH=BG，从而可证到△ABH≌△CBG，则有AH=CG，∠HAB=∠GCB，从而可证到∠HAB+∠AGC=90°，进而可证到AH⊥CG．
（2）延长CG与AH交于点Q，如图②，仿照（1）中的证明方法就可解决问题．
（3）延长AH与CG交于点N，如图③，易证BH∥EF，可得△GBH∽△GFE，则有

BH

BG

=

FE

FG

，也就有

BH

BG

=

AB

BC

，从而可证到△ABH∽△CBG，则有

AH

CG

=

AB

CB

=n，∠HAB=∠GCB，进而可证到AH=nCG，AH⊥CG．

解答：解：（1）AH=CG，AH⊥CG．
证明：延长AH与CG交于点T，如图①，
由旋转和平移的性质可得：EF=AB，FG=BC，∠EFG=∠ABC．
∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，
∴EF=GF，∠EFG=∠ABC=90°．
∴∠CBG=90°，∠EGF=45°．
∴∠BHG=90°-45°=45°=∠EGF．
∴BH=BG．
在△ABH和△CBG中，

AB=BC ∠ABH=∠CBG BH=BG

，
∴△ABH≌△CBG（SAS）．
∴AH=CG，∠HAB=∠GCB．
∴∠HAB+∠AGC=∠GCB+∠AGC=90°．
∴∠ATC=90°．
∴AH⊥CG．

（2）（1）中的结论仍然成立．
证明：延长CG与AH交于点Q，如图②，
由旋转和平移的性质可得：EF=AB，FG=BC，∠EFG=∠ABC．
∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，
∴EF=GF，∠EFG=∠ABC=90°．
∴∠ABH=90°，∠EGF=45°．
∴∠BGH=∠EGF=45°．
∴∠BHG=90°-45°=45°=∠BGH．
∴BH=BG．
在△ABH和△CBG中，

AB=BC ∠ABH=∠CBG BH=BG

，
∴△ABH≌△CBG（SAS）．
∴AH=CG，∠HAB=∠GCB．
∴∠GCB+∠CHA=∠HAB+∠CHA=90°．
∴∠CQA=90°．
∴CG⊥AH．

（3）AH=nCG，AH⊥CG．
理由如下：
延长AH与CG交于点N，如图③，
由旋转和平移的性质可得：EF=AB，FG=BC，∠EFG=∠ABC．
∵四边形ABCD是矩形，AB=nBC，
∴EF=nGF，∠EFG=∠ABC=90°．
∴∠EFG+∠ABC=180°．
∴BH∥EF．
∴△GBH∽△GFE．
∴

BH

BG

=

FE

FG

．
∵

FE

FG

=n=

AB

BC

，
∴

BH

BG

=

AB

BC

．
∵∠ABH=∠CBG，
∴△ABH∽△CBG．
∴

AH

CG

=

AB

CB

=n，∠HAB=∠GCB．
∴AH=nCG，∠HAB+∠AGC=∠GCB+∠AGC=90°．
∴∠ANC=90°．
∴AH⊥CG．

点评：本题通过图形的运动变化，考查了旋转的性质、平移的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，渗透了变中有不变的辨证思想，是一道好题．