Question

如图所示，在△ABC中∠A=60°，∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点D，与∠ACB的角平分线交于点P，与边AC交于点F．
（1）求∠BPC的度数；
（2）线段PC、PD有什么数量关系？说明理由．
（3）线段PE、PF有什么数量关系，说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据三角形内角和定理和角平分线的性质得到∠BPC=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）=120°；
（2）在直角△PCD中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半进行推理；
（3）PE=PF．作∠BPC的平分线PN交BC于点N．构建全等三角形：△BPE≌△BPN，△CPN≌△CPF，由全等三角形的对应边相等证得结论．

解答： （1）解：∵在△ABC中∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°．
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC．
又∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠PCB=

1

2

∠ACB，
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）=120°；

（2）∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于D，
∴∠DBC=

1

2

∠ABC，∠DCE=

1

2

∠ACE，
∵∠DCE=∠DBC+∠D，∠A+∠ABC=∠ACE，
∴

1

2

∠ABC+∠D=

1

2

∠ACE，
即

1

2

∠ABC+∠D=

1

2

（∠A+∠ABC），
解得：∠D=

1

2

∠A=30°，
由（1）知，∠BPC=120°，则∠DPC=60°．
∴在△PCD中，∠PCD=90°，∠DPC=30°，
∴2PC=PD；

（3）PE=PF．证明如下：
作∠BPC的平分线PN交BC于N．
∵∠BPC=120°，
∴∠BPN=∠CPN=∠BPE=∠FPC=60°．
在△BPE与△BPN中，

∠BPE=∠BPN BP=BP ∠PBE=∠PBN

，
∴△BPE≌△BPN（ASA），
∴PE=PN．
同理，△CPN≌△CPF，
∴PN=PF，
∴PE=PF．

点评：本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握性质定理是解题的关键．