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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(﹣31),点B05),过点A作直线lAB,过点BBDl,交x轴于点D,再以点B为圆心,BD长为半径作弧,交直线l于点C(点C位于第四象限),连结BCCD

1)求线段AB的长.

2)点M是线段BC上一点,且BMCA,求DM的长.

3)点M是线段BC上的动点.

①若点N是线段AC上的动点,且BMCN,求DM+DN的最小值.

②若点N是射线AC上的动点,且BMCN,求DM+DN的最小值(直接写出答案).

【答案】1AB=5;(2DM=5;(3)①DM+DN的最小值为.②DM+DN的最小值为

【解析】

1)过点Ay轴垂线AE,利用AB坐标求得AEBE的长,在RtABE中利用勾股定理即求出AB的长.

2)由BDl得∠DBM=∠BCA,加上BCBDBMCA,用边角边即可证DBM≌△BCA,进而得DMBA5

3)①由边角边易证DBM≌△BCN,得DMBN,把DM+DN转化为求BN+DN.作点B关于直线l的对称点B',易得当B'ND在同一直线上时,DM+DNB'D最小.易证∠B'BD90°BB'2AB10,只要求得BDBC的长即能求B'D.用HLRtBACRtBOD得∠ABC=∠OBD,转换得∠ABO=∠ACB,则其正弦值相等.在RtABEsinABE可求,则在RtABC中利用sinACB的值求出BC的长,进而得BDB'D的值.

N在射线AC上运动分两种情况,第一种即①N在线段AC上,最小值为 .第二种为N在线段AC延长线上,过点BBFDC交直线l于点F,构造平行四边形BDCF,利用边角边证BMF≌△CND,得MFDN,所以当DMF在同一直线上时,DM+DNDM+MFDF最小.过D作直线l垂线DG,易得DGAB5AGBD .在RtABC中求AC的长,即求得AF的长进而求FG的长,再用勾股定理即可求DF的长为5.比较两种情况的最小值,更小的值即为答案.

解:(1)过点AAEy轴于点E,如图1

∴∠AEB90°

A(﹣31),点B05

AE3OE1OB5

BEOBOE4

AB

2)连接DM,如图1

BD∥直线l

∴∠DBM=∠BCA

DBMBCA

∴△DBM≌△BCASAS

DMBA5

3)①延长BA到点B',使AB'AB,连接B'D,如图2

∴直线l垂直平分BB'BB'2AB10

∵点N为直线l上的动点

BNB'N

DBMBCN

∴△DBM≌△BCNSAS

DMBN

DM+DNBN+DNB'N+DN

∴当点DNB'在同一直线上时,DM+DNB'N+DNB'D最小

∵直线lAB

∴∠BAC=∠BOD90°

RtBACRtBOD

RtBACRtBODHL

∴∠ABC=∠OBD

∴∠ABC﹣∠OBC=∠OBD﹣∠OBC

即∠ABO=∠CBD

∴∠ABO=∠ACB

RtABE中,sinABO

∴在RtABC中,sinACB

BDBC AB

BD∥直线l

∴∠B'BD180°﹣∠BAC90°

B'D

DM+DN的最小值为

②当点N在线段AC上时,由①可知DM+DN最小值为

当点N在线段AC延长线上时,如图3

过点BBFDC交直线l于点F,连接MFDF,过点DDG⊥直线l于点G

∴四边形BDCF是平行四边形

BFCDCFBD ,∠MBF=∠BCD=∠BDC=∠NCD

在△BMF与△CND

∴△BMF≌△CNDSAS

MFDN

DM+DNDM+MF

∴当DMF在同一直线上时,DM+DNDM+MFDF最小

∵∠BAG=∠ABD=∠AGD90°

∴四边形ABDG是矩形

AGBDDGAB5

RtABC中,AC

AFCFAC

FGAF+AG 10

DF

5

∴当N在射线AC上运动时,DM+DN的最小值为

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1未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用水量x

0≤x<0.1

0.1≤x<0.2

0.2≤x<0.3

0.3≤x<0.4

0.4≤x<0.5

0.5≤x<0.6

0.6≤x≤0.7

频数

1

3

2

4

9

26

5

2使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用水量x

0≤x<0.1

0.1≤x<0.2

0.2≤x<0.3

0.3≤x<0.4

0.4≤x<0.5

0.5≤x<0.6

频数

1

5

13

10

16

5

(1)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.3 m3的概率;

(2)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表.)

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【题目】某校文学社为了解学生课外阅读情况,抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间,过程如下:

数据收集:从全校随机抽取20名学生,进行了每周用于课外阅读时间的调查,数据如下(单位:min)

30

60

81

50

40

110

130

146

90

100

60

81

120

140

70

81

10

20

100

81

整理数据:按如下分段整理样本数据并补全表格:

课外阅读时间x(min)

0≤x<40

40≤x<80

80≤x<120

120≤x<160

等级

D

C

B

A

人数

3

____

8

____

分析数据:补全下列表格中的统计量:

平均数

中位数

众数

80

____

____

得出结论:

⑴用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的情况等级为_____

⑵如果该校现有学生400人,估计等级为“B”的学生有多少人?

⑶假设平均阅读一本课外书的时间为320分钟,请你选择样本中的一种统计量估计该校学生每人一年(52周计算)平均阅读多少本课外书?

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组别

月生活支出x(单位:元)

频数(人数)

频率

第一组

x300

4

0.10

第二组

300x350

2

0.05

第三组

350x400

16

n

第四组

400x450

m

0.30

第五组

450x500

4

0.10

第六组

x500

2

0.05

请根据图表中所给的信息,解答下列问题:

1)在这次调查中共随机抽取了   名学生,图表中的m   n   

2)请估计该校高一年级600名住校学生今年4月份生活支出低于350元的学生人数;

3)现有一些爱心人士有意愿资助该校家庭困难的学生,学校在本次调查的基础上,经过进一步核实,确认高一(2)班有ABC三名学生家庭困难,其中AB为女生,C为男生.李阿姨申请资助他们中的两名,于是学校让李阿姨从ABC三名学生中依次随机抽取两名学生进行资助,请用列表法(或树状图法)求恰好抽到AB两名女生的概率.

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