Question

【题目】如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形.∠APB=120°.

(1)求证：△ACP∽△PDB；

(2)证明：

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）6

【解析】

（1）根据等边三角形的性质得到∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，于是推出∠ACP=∠PDB=120°，等量代换得到∠BPD=∠CAP，根据相似三角形的性质得到结论；

（2）由相似三角形的性质得到，根据等边三角形的性质得到PC=PD=CD，等量代换得到，即可得到结论．

证明：(1)∵△PCD是等边三角形，

∴∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，

∴∠ACP=∠PDB=120°，

∵∠APB=120°，

∴∠APC+∠BPD=60°，

∵∠CAP+∠APC=60°

∴∠BPD=∠CAP，

∴△ACP∽△PDB；

(2)由(1)得△ACP∽△PDB，

∴，

∵△PCD是等边三角形，

∴PC=PD=CD，

∴，

∴.