Question

【题目】如图，在四边形中，为一条对角线，，，，为的中点，连接．

（1）求证：四边形为菱形；

（2）连接，若平分，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由DE=BC，DE∥BC，证得四边形BCDE是平行四边形，，再证明BE=DE即可得到结论；

（2）由AD∥BC，AC平分∠BAD证得AB=BC=2，求出∠ADB=30°，，再利用三角函数求出AC.

（1）∵，为的中点，

∴DE=BC，

∵AD∥BC，

∴四边形BCDE是平行四边形，

∵，AE=DE，

∴BE=DE，

∴四边形BCDE是菱形；

（2）连接AC，

∵AD∥BC，AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC=BCA，

∴AB=BC=2，

∵AD=2BC=4，

∴sin∠ADB=，

∴∠ADB=30°，

∴∠DAC=30°，∠ADC=60°，

在Rt△ACD中，AD=4，

∴AC=.