Question

10．在Rt△ABC中，∠C=90°，M是AB的中点，PM⊥MQ，P，Q分别在边AC，BC上．
（1）尝试探究：在如图1中，若AC=BC，连结CM后，请探究PM与MQ的数量关系是PM=MQ，并加以证明；
（2）类比延伸：如图2，在原题条件下，BC=kAC，试探究PM与MQ的数量关系是PM=kMQ；
（3）拓展探究：如图3，在原题条件下，试写出AP，PQ，BQ三者之间的关系PA²+BQ²=PQ²．

Answer 1

分析 （1）结论：PM=PQ，图1中，连接MC，根据等腰直角三角形的性质得到∠B=∠ACM，CM=BM=$\frac{1}{2}$AB，∠CMB=90°，根据余角的性质得到∠PMC=∠BMQ，推出△PMC≌△BMQ，根据全等三角形的性质即可得到结论．
（2）结论：PM=kMQ，图2中，作MF⊥BC，ME⊥C垂足分别为F、E，由△PMQ∽△FMQ得$\frac{PM}{MF}=\frac{EM}{MF}$，因为AM=MB，MF∥CA，ME∥BC，所以BF=CF，AE=EC，所以EM=$\frac{1}{2}$BC，MF=$\frac{1}{2}$AC，即可得出结论．
（3）结论：PA²+BQ²=PQ²，图3中，延长PM到E使得PM=ME，连接BE，QE，由△AMP≌△BME得AP=BE，∠A=∠MBE，再证明∠QBE=90°，在RT△BQE中利用勾股定理即可．

解答 （1）结论：PM=MQ，理由如下：
证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵M是AB的中点，
∴∠ACM=45°，
∴∠B=∠ACM，CM=BM=$\frac{1}{2}$AB，∠CMB=90°，
∵∠EMD=90°，
∴∠PMC=∠BMQ，
在△PMC与△BMQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PMC=∠BMQ}\\{CM=BM}\\{∠PCM=∠B}\end{array}\right.$，
∴△PMC≌△BMQ，
∴MP=MQ．
故答案为PM=MQ．
（2）结论：PM=kMQ，利用如下：
证明：作MF⊥BC，ME⊥C垂足分别为F、E．
∵∠MEC=∠C=∠MFC=90°，
∴四边形MFCE是矩形，
∴∠EMF=∠PMQ=90°，
∴∠EMP=∠FMQ，
∴△PMQ∽△FMQ，
∴$\frac{PM}{MQ}=\frac{EM}{MF}$，
∵AM=MB，MF∥CA，ME∥BC，
∴BF=CF，AE=EC，
∴EM=$\frac{1}{2}$BC，MF=$\frac{1}{2}$AC，
∴$\frac{PM}{MQ}=\frac{EM}{MF}$=$\frac{BC}{AC}=k$．
∴PM=kMQ．
故答案为PM=kMQ．
（3）结论：PA²+BQ²=PQ²理由如下：
证明：延长PM到E使得PM=ME，连接BE，QE．
在△AMP和△BME中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=MB}\\{∠AMP=∠BME}\\{PM=ME}\end{array}\right.$，
∴△AMP≌△BME，
∴AP=BE，∠A=∠MBE，
∵PM=ME，QM⊥PE，
∴QP=PE，
∵∠A+∠ABC=90°，
∴∠ABC+∠MBE=90°，
∴∠QBE=90°，
∴QE²=QB²+BE²，
∴PA²+BQ²=PQ²．
故答案为PA²+BQ²=PQ²．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，构造全等三角形是解决问题的关键，属于中考常考题型．