Question

【题目】△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，0<∠PBC<180 ，DB平分∠PBC，且DB=DA．

（1）当BP与BA重合时（如图1），求∠BPD的度数；

（2）当BP在∠ABC的内部时(如图2)，求∠BPD的度数；

（3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数.

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）30°；（3）∠BPD=30°或150°.

【解析】

（1）由于P，A重合，DP=DB，∠DBP=∠DPB，因为DB是∠PBC的平分线，因此，∠DBP=∠DPB=30°；
（2）连接CD，BP=BC，BD又是∠PBC的平分线，则△PBD≌△CBD，有∠BPD=∠BCD，那么关键是求∠BCD的值，可通过证明△ACD和△BCD全等来得出，∠BCD=∠ACD=30°，然后求出∠BPD的度数；
（3）同（2）的证法完全一样，先求出∠BCD的度数，然后证明△BPD≌△BCD．（当∠BPD是钝角时，∠BPD=∠BCD=（360-60）÷2=150°，还是用的（2）中的△BPD≌△BCD，△BCD≌△ACD）.

解：（1）在等边三角形ABC中，

∴∠ABC=∠PBC=60°，

∵DB平分∠PBC，

∴∠PBD=30°

∵DB=DA，

∴∠DBP=∠DPB=30°；

（2）如图，连接CD，

∵点D在∠PBC的平分线上
∴∠PBD=∠CBD
∵△ABC是等边三角形
∴BA=BC=AC，∠ACB=60°
∵BP=BA
∴BP=BC
∵BD=BD
∴△PBD≌△CBD（SAS）
∴∠BPD=∠BCD
∵DB=DA，BC=AC，CD=CD
∴△BCD≌△ACD
∴∠BCD=∠ACD=∠ACB=30°
∴∠BPD=30°；

（3）当BP在∠ABC的外部时，如图

当∠BPD是锐角时，由（2）知，△BCD≌△ACD
∴∠BCD=∠ACD=∠ACB=30°，

由△PBD≌△CBD，

∴∠BPD=30°；

当∠BPD是钝角时，由（2）知，△BCD≌△ACD
∴∠BCD=∠ACD，

∴∠BCD=（360°-60°）÷2=150°，

由△PBD≌△CBD，

∴∠BPD=∠BCD=150°；

综合上述，∠BPD=30°或150°.