[题目]爱好思考的小明在探究两条直线的位置关系查阅资料时.发现了“中垂三角形 .即两条中线相互垂直的三角形“中垂三角形 .如图(1).图(2).图(3)中.AM.BN是△ABC的中线.AM⊥BN于点P.像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形．设BC=a.AC=b.AB=c．(1)如图1.当tan∠PAB=1.c=4时.a=b= ,(2)请你� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】爱好思考的小明在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线相互垂直的三角形“中垂三角形”，如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．

（特例研究）

（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4时，a=b= ；

（归纳证明）

（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图2证明你的结论；

（拓展证明）

（3）如图4，ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF交BE相较于点G，AD=3，AB=3，求AF的长．

【答案】（1）；（2）a2+b2=5c2，证明见解析；（3）4

【解析】

（1）首先证明△APB，△PMN都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解决问题．

（2）结论a2+b2=5c2．设MP=x，NP=y，则AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分别求出a2、b2、c2即可解决问题．
（3）取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，首先证明△ABF是中垂三角形，利用（2）中结论列出方程即可解决问题．

（1）解：如图中，

∵CN=AN，CM=BM，
∴MN∥AB，MN=AB=2，

∵tan∠PAB=1，
∴∠PAB=∠PBA=∠PNM=∠PMN=45°，
∴PN=PM=2，PB=PA=4，
∴AN=BM=，

∴b=AC=2AN=4，a=BC=4，

∴，

故答案为：；

（2）结论a2+b2=5c2．
证明：如图中，

连接MN．
∵AM、BN是中线，
∴MN∥AB，MN=AB，
∴△MPN∽△APB，

∴，
设MP=x，NP=y，则AP=2x，BP=2y，
∴a2=BC2=4BM2=4(MP2+BP2)=4x2+16y2，
b2=AC2=4AN2=4(PN2+AP2)=4y2+16x2，
c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2，
∴a2+b2=20x2+20y2=5(4x2+4y2)=5c2．
（3）解：如图中，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AE∥BF，

∴，

在△AGE和△FGB中，

，
∴△AGE≌△FGB，
∴AG=FG，取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，
同理可证△APH≌△BFH，
∴AP=BF，PE=2BF=CF，
即PE∥CF，PE=CF，
∴四边形CEPF是平行四边形，
∴FP∥CE，
∵BE⊥CE，
∴FP⊥BE，即FH⊥BG，
∴△ABF是中垂三角形，
由（2）可知AB2+AF2=5BF2，
∵AB=3，BF=AD=，
∴9+AF2=5×，
∴AF=4．

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