Question

已知等边△ABC，点D在直线BC上，点E在直线AC上，BD=CE，连接AD、BE，直线AD、直线BE交于点F．
（1）当点D在BC的延长线上，点E在CA的延长线上，如图1，求证：∠AFE=2∠ABD；
（2）当点D在CB的延长线上，点E在AC的延长线上，如图2，猜想∠AFE和∠ABD的数量关系为

 

．
（3）在（2）的条件下，过点A作AH⊥EF，垂足为H，BE=4，DF=1，求FH的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）易证△BCE≌△ABD，即可求得∠D=∠E，即可证明∠AFE=ACD，即可解题；
（2）易证△BCE≌△ABD，即可求得∠D=∠E，即可证明∠AFE=ACD，即可解题；
（3）作AH⊥EF，根据（2）中结论可得AD=BE，即可求得AF的长，根据30°角所对直角边是斜边一半即可求得FH的长．

解答：解：（1）∵在△BCE和△ABD中，

AB=BC ∠ABC=∠ACB BD=CE

，
∴△BCE≌△ABD，（SAS）
∴∠D=∠E，
∴∠AFE=∠FBD+∠D=∠FBD+∠E=∠ACD=120°，
∵∠ABD=60°，
∴∠AFE=2∠ABD；
（2）∵在△BCE和△ABD中，

AB=BC ∠ABC=∠ACB BD=CE

，
∴△BCE≌△ABD，（SAS）
∴∠D=∠E，
∵∠AFE=∠D+∠DBF，∠DBF=∠CBE，
∴∠AFE=∠E+∠CBE=∠ACB=60°，
∵∠ABD=120°，
∴∠ABD=2∠AFE；
（3）作AH⊥EF，

∵△BCE≌△ABD，
∴AD=BE，
∴AF=AD-DF=3．
∵∠AFE=60°，
∴∠FAH=30°，
∴FH=

1

2

AF=1.5．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了30°角所对直角边是斜边一半的性质，本题中求证△BCE≌△ABD是解题的关键．