Question

如图，已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象过点（-1，0），顶点为（1，2），则结论：
①abc＜0；②x=1时，函数的最大值是2；③a+2b+4c＜0；④2a=-b；⑤2c＞3b．其中
正确的结论有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：数形结合

分析：由抛物线开口方向得到a＜0，由抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=1，则b=-2a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则可对①进行判断；
由于抛物线的顶点坐标为（1，2），根据二次函数的性质可对②进行判断；
由于x=

1

2

时，y＞0，即

1

4

a+

1

2

b+c＞0，则a+2b+4c＞0，于是可对③进行判断；
根据抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=1可得2a=-b，所以可对④进行判断；
利用抛物线过点（-1，0）得到a-b+c=0，而a=-

1

2

b，则-

1

2

b-b+c=0，变形得到2c=3b，则可对⑤进行判断．

解答：解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=1，
∴b=-2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线的顶点坐标为（1，2），
∴x=1时，函数有大值2，所以②正确；
∵x=

1

2

时，y＞0，即

1

4

a+

1

2

b+c＞0，
∴a+2b+4c＞0，所以③错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=1，
∴2a=-b，所以④正确；
∵抛物线过点（-1，0），
∴a-b+c=0，
而a=-

1

2

b，
∴-

1

2

b-b+c=0，
∴2c=3b，所以⑤错误．
故选C．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．