Question

18．如图，已知：在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，P是AC上不与A、C重合的一动点，PQ⊥BC于Q，QR⊥AB于R．
（1）求证：PQ=CQ；
（2）设CP的长为x，QR的长为y，求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围，并在平面直角坐标系作出函数图象．
（3）PR能否平行于BC？如果能，试求出x的值；若不能，请简述理由．

Answer 1

分析 （1）易得△ABC为等腰直角三角形，则∠B=∠C=45°，然后利用PQ⊥CQ可得到△PCQ为等腰直角三角形，所以PQ=CQ；
（2）根据等腰直角三角形的性质得BC=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$，CQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，同理可证得为△BQR等腰直角三角形，则BQ=$\sqrt{2}$RQ=$\sqrt{2}$y，所以$\sqrt{2}$y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=1，变形得到y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（0＜x＜1），然后描点画函数图象；
（3）由于AR=1-y，AP=1-x，则AR=1-（-$\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$），当AR=AP时，PR∥BC，所以1-（-$\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=1-x，解得x=$\sqrt{2}$，然后利用0＜x＜1可判断x=$\sqrt{2}$舍去，所以PR不能平行于BC．

解答 （1）证明：∵∠A=90°，AB=AC=1，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，
∵PQ⊥CQ，
∴△PCQ为等腰直角三角形，
∴PQ=CQ；
（2）解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴BC=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$，
∵△PCQ为等腰直角三角形，
∴CQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
同理可证得为△BQR等腰直角三角形，
∴BQ=$\sqrt{2}$RQ=$\sqrt{2}$y，
∵BQ+CQ=BC，
∴$\sqrt{2}$y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=1，
∴y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（0＜x＜1），
如图，

（3）解：不能．理由如下：
∵AR=1-y，AP=1-x，
∴AR=1-（-$\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
当AR=AP时，PR∥BC，
即1-（-$\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=1-x，
解得x=$\sqrt{2}$，
∵0＜x＜1，
∴x=$\sqrt{2}$舍去，
∴PR不能平行于BC．

点评 本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是熟练应用等腰直角三角形的性质．