Question

17．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=5，过点A、B作⊙O，交AD、BC于点E、F，连接BE、CE，过点F作FG⊥CE，垂足为G．
（1）当点F是BC的中点时，求证：直线FG与⊙O相切；
（2）若FG∥BE时，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OF，由点F是BC的中点，得到BF=CF，在矩形ABCD中，∠A=90°，证得BE是⊙O的直径，求得BO=OE，根据三角形的中位线的性质得到OF∥CE，证得OF⊥FG，即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到BE⊥CE，由余角的性质得到∠ABE=∠DEC，证得△ABE∽△CDE，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：连接OF，
∵点F是BC的中点，
∴BF=CF，
在矩形ABCD中，∵∠A=90°，
∴BE是⊙O的直径，
∴BO=OE，
∴OF∥CE，
∵FG⊥CE，
∴OF⊥FG，
∴直线FG与⊙O相切；

（2）解：∵FG∥BE，FG⊥CE，
∴BE⊥CE，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠ABE=∠DEC，
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABE∽△CDE，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{AE}{CD}$，
∵AB=2，AD=5，
∴CD=AB=2，
∴$\frac{2}{5-AE}=\frac{AE}{2}$，
∴AE=1，或AE=4．

点评 本题考查的是切线的判定，三角形的中位线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．